[論文レビュー] Finitary birepresentations of finitary bicategories

Marco Mackaay, Volodymyr Mazorchuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限的2表現理論を有限的2圏の有限的2圏への一般化し、細胞理論を用いて2表現2圏と部分商との間の2同値を確立する。コールゲブラ、コモジュール、内部コホモ構成を用いて、2圏から2圏への双対中心化定理の2同値版を証明し、ソルゲル双モジュールや単純的トランスティーブ2表現の分類への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the generalization of finitary $2$-representation theory of finitary $2$-categories to finitary birepresentation theory of finitary bicategories. In previous papers on the subject, the classification of simple transitive $2$-representations of a given $2$-category was reduced to that for certain subquotients. These reduction results were all formulated as bijections between equivalence classes of $2$-representations. In this paper, we generalize them to biequivalences between certain $2$-categories of birepresentations. Furthermore, we prove an analog of the double centralizer theorem in finitary birepresentation theory.

研究の動機と目的

• 特定の例（例えばソルゲル双モジュール）において厳密2圏が不十分であるため、有限的2表現理論をより広いフレームワーク、すなわち有限的2圏へ拡張すること。
• 2表現における還元結果を2表現へ一般化し、2表現の2圏間の2同値として定式化すること。
• 有限的2表現理論の文脈において、双対中心化定理の2同値版を確立すること。
• 2圏におけるコールゲブラ、コモジュール、内部コホモの体系的取り扱いを提供し、単純的トランスティーブ2表現の分類を可能にすること。

提案手法

• 細胞理論と弱Jordan–Hölderフィルトレーションを用いて、単純的トランスティーブ2表現の分類を2圏の部分商へ還元する。
• 2圏におけるMorita–Takeuchi理論を応用し、2表現をコールゲブラ上のコモジュールに関連付ける。
• 2圏における内部コホモ関手[X, Y]を構成し、双対を定義し、随伴を確立する。
• 双モジュールのコテンプルス積と擬関手を用いて、2圏から双モジュール圏への構造の持ち上げを行う。
• 2圏からコールゲブラ上のインジェクティブ双モジュール圏への標準的擬関手が、add(H)に制限した場合、1-射に関して全単射的かつ本質的に全射的であることを証明する。
• 結合則図式（五角形、三角形、交換）を用いて、随伴および2同値の構成における自然性と可換性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純的トランスティーブ2表現の分類は、2圏から2圏へどのように一般化できるか？
• RQ2 有限的2表現理論における双対中心化定理の2同値版は何か？
• RQ3 2圏におけるコールゲブラとコモジュールは、2表現の構成とその還元をどのように支援するか？
• RQ4 2圏における細胞構造と部分商は、分類問題をより小さい、取り扱いやすい成分へ還元するためにどのように機能するか？
• RQ5 2圏からその双モジュール圏への標準的擬関手が2同値であるための条件は何か？

主な発見

• 弱Jordan–Hölder定理は、有限的2圏の有限的2表現へ直接一般化され、単純的トランスティーブ部分商によるフィルトレーションを保証する。
• 細胞理論を用いることで、単純的トランスティーブ2表現の分類は部分商へ還元され、頂点（apex）は2つの側面で消えない最大の両側細胞に対応する。
• 2圏における2表現の2圏と、コールゲブラ上のインジェクティブ双モジュールの2圏との間で2同値が確立され、双対中心化定理が一般化される。
• 内部コホモ構成[X, Y]は右双対Y⋆Xと同型であり、C⋆C上のコールゲブラ構造は元の2圏におけるものと整合する。
• 標準的擬関手can: C^H → (C⋆C)BiinjBM(C⋆C) は、add(H)に制限した場合、2-射に関して全単射的であり、1-射に関して本質的に全射的であるため、2同値が確立される。
• 2同値の証明は、結合則、結合則の自然性、単位則の自然性、および評価写像とコ評価写像のジグザグ関係に依存する。