[論文レビュー] Finitary coding and Gaussian concentration for random fields

J. -R. Chazottes, S. Gallo+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

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ひとこと要約

論文は、i.i.d.場の有限コード化であるランダム場に対するGaussian濃度結果を展開し、濃度を保持するコード量のモーメント条件を確立する。鋭さとIsing、Potts、Gibbs測度、Markovランダム場、1次元過程への適用を示す。

ABSTRACT

We study Gaussian concentration inequalities for random fields obtained as finitary codings of i.i.d.\ fields, linking concentration properties to coding structure. A finitary coding represents a dependent field as a shift-equivariant image of an i.i.d.\ process, where each output depends on a finite but configuration-dependent portion of the input. Gaussian concentration corresponds to uniform sub-Gaussian bounds for local observables. Our main abstract result shows that Gaussian concentration is preserved under finitary codings with finite second moment of the coding volume. The proof relies on a refinement of the bounded-differences inequality, due to Talagrand and Marton, handling configuration-dependent influences. Under an additional structural assumption, satisfied in particular by coupling-from-the-past codings, a finite first moment suffices. These moment conditions are sharp. We apply these results to Gibbs measures, Markov random fields on $\mathbb Z^d$, and a broad class of one-dimensional processes. Using recent constructions of finitary codings, notably by Spinka and collaborators, we obtain sharp necessary and sufficient conditions for Gaussian concentration in classical lattice models, including the Ising, Potts, and random-cluster models: it holds if and only if the model lies in the full uniqueness regime, extending previous results beyond strict subregimes. In one dimension, we treat processes with possibly unbounded memory. For countable-state Markov chains, we obtain equivalent characterizations in terms of geometric ergodicity, exponential return-time tails, and finitary i.i.d.\ codings with exponential tails.

研究の動機と目的

• 有限コード化理論とGaussian濃度をランダム場に結びつける。
• Gaussian濃度が保たれることを保証するコード量のモーメント条件を特定する。
• Gibbs測度、Markovランダム場、および確率的セルオートマタへの含意を探る。
• モーメント条件の鋭さを示し、Bernoulli性・有限決定性と関連付ける。

提案手法

• i.i.d.場の有限コード化とGaussian濃度境界を結ぶ一般的な抽象的枠組みを開発する。
• 設定依存のコード表示ウィンドウに適応した境界差分法（Talagrand/Marton）の洗練を用いる。
• 濃度を保証するためのコード量に関する二次モーメント条件（短距離因子化特性下では一時モーメント条件も）を導入する。
• 過去からのカップリング構成を利用して構造的短距離因子化条件を満たす。
• この枠組みをGibbs測度、Ising/Potts/ランダム-クラスタモデル、確率的セルオートマタ、一次元の確率過程へ適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d.場の有限コード化されたランダム場に対してGaussian濃度が成立する条件は何か。
• RQ2 Gaussian濃度を保証するために必要かつ十分なコード量のモーメント条件は何か。
• RQ3 構造的な短距離因子化の性質は有限一時モーメントとしての濃度にどのように影響するか。
• RQ4 格子模型（Ising、Potts、ランダム-クラスタ）および一維のMarkov連鎖に結果はどのように特化するか。
• RQ5 有限コード化がBernoullicity/有限決定性および関連するエルゴード性性質を示すのはいつか。

主な発見

• ランダム場がi.i.d.場の有限コード化であり、コード量の二次モーメントが有限ならGaussian濃度は保持される。
• 構造的な短距離因子化特性の下では、コード量の一時モーメントが有限であるだけでGaussian濃度を満たす。
• モーメント条件は鋭く、特定の領域（例：臨界点のIsing）で反例が存在する。
• Gibbs測度の一意性領域では、指数尾または伸縮指数尾を持つ有限コード化はGaussian濃度を与える一方、共存領域ではそうならない。
• 可算状態のMarkov連鎖に対して、Gaussian濃度は幾何学的エルゴード性、指数尾再帰時間、指数尾を持つ有限i.i.d.コード化の存在と同値である。
• 適用対象はIsing、Potts、ランダム-クラスタモデル、確率的セルオートマタ、そして1次元の確率過程を含む。