[論文レビュー] Finitary Corecursion for the Infinitary Lambda Calculus

Stefan Milius, Thorsten Wißmann|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、名目集合における無限項ラムダ計算の関手の有理的不動点が、同型に関して有限個の部分木しか持たない有理的ラムダツリーに正確に一致することを確立しており、これにより、これらの項における代入や正規形計算などの操作を定義するための有限的コリカージョン原理が可能になる。

ABSTRACT

Kurz et al. have recently shown that infinite $λ$-trees with finitely many free variables modulo $α$-equivalence form a final coalgebra for a functor on the category of nominal sets. Here we investigate the rational fixpoint of that functor. We prove that it is formed by all rational $λ$-trees, i.e. those $λ$-trees which have only finitely many subtrees (up to isomorphism). This yields a corecursion principle that allows the definition of operations such as substitution on rational $λ$-trees.

研究の動機と目的

• 名目集合の圏における無限項ラムダ計算の関手 $ L_{\beta} $ の有理的不動点を特徴付けること。
• この有理的不動点が $\alpha$-同値に関して正確に有理的ラムダツリーに一致することを示すこと。
• 有理的ラムダ項上の操作に対する有限的コリカージョン原理を確立すること。
• 代数的定義（代数的定義）としての代入や正規形計算といったコイナスティック定義が、有理的ツリーに制限できることを示すこと。
• 変数束縛のためのコアルゲブラ的枠組みを、有理的不動点を介した有限的コイナスティック推論を含む形に拡張すること。

提案手法

• 名目集合の理論を活用して、ラムダ計算における変数束縛と $\alpha$-同値を形式化すること。
• Kurz らによって確立された $ L_{\alpha} $ の最終コアルゲブラを、無限項ラムダ項の基礎として用いること。
• 有理的不動点を、最終的な局所的軌道有限な $ L_{\alpha} $-コアルゲブラとして特徴付けること。
• 有理的不動点が、$\alpha$-同値に関してすべての有理的 $\lambda$-ツリーの集合を担うことを証明すること。
• 有理的不動点の最終性を応用して、有理的ツリー上の操作を定義するためのコリカージョン原理を導出すること。
• この原理を用いて、代入や正規形計算（例：Böhm、Levy-Longo、Berarducci ツリー）のコイナスティック定義を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 名目集合の圏における関手 $ L_{\alpha} $ の有理的不動点の構造は何か？
• RQ2 どの $\lambda$-ツリーが $ L_{\alpha} $ の有理的不動点に含まれるのか、そしてそれらは有限的行動とどのように関係するのか？
• RQ3 代入や正規形計算といったコイナスティック定義は、有理的 $\lambda$-ツリーに制限できるか？
• RQ4 無限項 $\lambda$-計算における変数束縛の文脈で、有理的不動点がどのように有限的コリカージョン原理を提供するのか？
• RQ5 関連研究で示されたプレシーファ・カテゴリにおける結果と比較して、名目集合における有理的不動点結果との間には正式な関係があるだろうか？

主な発見

• 名目集合における関手 $ L_{\alpha} $ の有理的不動点は、$\alpha$-同値に関して正確にすべての有理的 $\lambda$-ツリーの集合に一致する。
• この特徴付けにより、有理的 $\lambda$-項上の操作を定義するための有限的コリカージョン原理が得られる。
• Kurz らが提示した無限項 $\lambda$-項における代入のコイナスティック定義は、有理的ツリーに制限可能である。
• Böhm、Levy-Longo、Berarducci ツリーのような正規形計算は、有理的 $\lambda$-項上でコイナスティックに定義可能である。
• 有理的不動点は、有限生成可能な $ L_{\alpha} $-コアルゲブラのすべての振る舞いを捉え、正則ツリー や有理的ストリームといった概念を一般化する。
• 結果から、名目集合とプレシーファ・カテゴリに基づくアプローチとの間には正式な関係がある可能性が示唆されるが、これはまだ正式に確立されていない。