[論文レビュー] Finitary semantics of linear logic and higher-order model-checking

Charles Grellois, Paul-André Melliès|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素性代数的ラティスを用いて線形論理の有限的意味論を確立し、高階モデルチェックイングにおける選択問題の決定可能性を、構成的で意味論的な証明によって示す。高階再帰スキームを有限モデルで解釈することにより、任意のMSO論理式に対して、証拠を生成する高階再帰スキームをアルゴリズム的に構成可能であることを示しており、有限パリティゲームとインターセクション型を用いて選択問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we explain how the connection between higher-order model-checking and linear logic recently exhibited by the authors leads to a new and conceptually enlightening proof of the selection problem originally established by Carayol and Serre using collapsible pushdown automata. The main idea is to start from an infinitary and colored relational semantics of the lambdaY-calculus already formulated, and to replace it by its finitary counterpart based on finite prime-algebraic lattices. Given a higher-order recursion scheme G, the finiteness of its interpretation in the model enables us to associate to any MSO formula phi a new higher-order recursion scheme G_phi resolving the selection problem.

研究の動機と目的

• 素性代数的ラティスを用いた、高階再帰スキームの有限的で定性的な意味論を確立すること。
• 高階モデルチェックイングにおける選択問題の決定可能性に対する意味論的証明を提供すること。
• 線形論理の意味論と高階モデルチェックイングにおける自動機的構成を結びつけること。
• 有限的モデルにおける高階再帰スキームの解釈が、交差型付きの帰納的走査木の有限表現をもたらすことを示すこと。
• 有限パリティゲームにおけるメモリレスな勝利戦略が、インターセクション型システムにおける有限でポインタベースの導出木に対応することを示すこと。

提案手法

• 線形論理の無限的で色分けされた関係的意味論を、素性代数的ラティスに基づく有限的意味論に置き換える。
• $λ Y$-計算における再帰型を解釈するため、有限モデルにおけるパラメータ化された不動点作用素を構築する。
• バックトラックポインタを備えた色分けされたインターセクション型システムを定義し、シーントの有限導出木を表現する。
• ある状態が受理状態かどうかをチェックする問題を、型システム内のシーントをノードとする有限パリティゲームに還元する。
• 有限パリティゲームにおける勝利戦略を用いて、自動機の証拠走査木を生成する新たな高階再帰スキームを構成する。
• 元のHORSの端末および非端末に、導出木からのインターセクション型をアノテートすることで、証拠生成スキーム $σ_{\varphi}$ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階モデルチェックイングにおける選択問題は、線形論理に基づく有限的で構成的な意味論を用いて解けるか？
• RQ2 素性代数的ラティスに基づく線形論理の有限的意味論は、高階モデルチェックイングの決定的枠組みを提供するか？
• RQ3 有限パリティゲームにおける勝利戦略の存在を、証拠を生成する高階再帰スキームを構成するためにどのように利用できるか？
• RQ4 色分けされたインターセクション型システムにおける導出と、交差型付きパリティ自動機の受理走査木との正確な対応関係は何か？
• RQ5 スコットモデルにおける解釈の有限性を活用することで、選択問題の決定可能性を保証できるか？

主な発見

• 選択問題は決定可能である：任意の高階再帰スキーム $σ$ とMSO論理式 $φ$ に対して、証拠走査木を生成する新たなHORS $σ_{\varphi}$ をアルゴリズム的に構成可能である。
• 素性代数的ラティスに基づく線形論理の有限的意味論により、導出において有限個のインターセクション型とコンテキストしか現れないことが保証され、決定可能性が達成される。
• 高階再帰スキーム $σ$ が生成する木上の交差型パリティ自動機について、状態 $q_0$ が受理状態かどうかをチェックする問題は、$q_0 \in [\![\sigma]\!]_{\mathcal{A}}$ であるかどうかのチェックに還元され、有限性により決定可能である。
• 有限パリティゲームにおけるメモリレスな勝利戦略は、インターセクション型システムにおける有限でポインタベースの導出木に対応する。
• $σ_{\varphi}$ の構成は構成的であり、元のHORSに導出木からのインターセクション型をアノテートすることで行われ、元のスキームの構造を保っている。
• 本手法は、カライョルとセールの自動機的証明とは別個の、概念的で新たな選択問題の証明を提供する。