[論文レビュー] Finite and infinite Euler products of Ramanujan expansions

Giovanni Coppola|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

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ひとこと要約

この論文は、Ramanujan係数が乗法的であり、点별収束が成り立つ場合に、算術関数のRamanujan展開に対して有限Euler積因子分解を確立する。主な結果は、このような展開が、所定の有限素数集合に関する有限積と無限尾部に分解可能であることを示しており、有限部分は引数のp進付値に依存する。これにより、零関数および乗法的係数に関する構造的分解が得られる。

ABSTRACT

All the $F:$N$ ightarrow $C having Ramanujan expansion $F(a)=\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$ (here $c_q(a)$ is the Ramanujan sum) pointwise converging in $a\in $N, with $G:$N$ ightarrow $C a multiplicative function, may be factored into two Ramanujan expansions, one of which is a finite Euler product : details in our Main Theorem. This is a general result, with unexpected and useful consequences, esp., for the Ramanujan expansion of null-function, say 0. The Main Theorem doesn't require other analytic assumptions, as pointwise convergence suffices; this depends on a general property of Euler $p-$factors (the factors in Euler products) for the general term $G(q)c_q(a)$; namely, once fixed $a\in $N (and prime $p$), the $p-$Euler factor of $G(q)c_q(a)$ (involving all $p-$powers) has a finite number of non-vanishing terms (depending on $a$) : see our Main Lemma. In case we also add some other hypotheses, like the absolute convergence, we get more classical Euler products: the infinite ones. For the Ramanujan expansion of 0 this strong hypothesis makes the class of 0 Ramanujan coefficients much smaller; also excluding Ramanujan's $G(q)=1/q$ and Hardy's $G(q)=1/φ(q)$ ($φ$ is Euler's totient function). Our Main Theorem, instead, suffices to classify all the multiplicative Ramanujan coefficients for 0, so we also announce and (partially) prove this Classification.

研究の動機と目的

• 乗法的係数および点別収束の下で、Ramanujan展開を有限および無限Euler積に一般化する因子分解を確立すること。
• 特に乗法的関数に注目して、零関数のRamanujan係数の構造を分析すること。
• 滑らかな数に台を持つ乗法的Ramanujan係数を分類し、それらが恒等的に消えるための条件を同定すること。
• 古典的係数（例：RamanujanのG(q) = 1/q、HardyのG(q) = 1/φ(q)）が絶対収束を満たさない理由を理論的に基礎づけること。

提案手法

• 有限素数集合Fを導入し、Ramanujan展開をF上の有限Euler積とFと互いに素な整数上の補足的尾部に分解する。
• 主補題を用いて、固定されたa ∈ ℕに対して、G(q)c_q(a)のp進因子が、v_p(a)に依存して有限個の非ゼロ項しか持たないことを示す。
• Gの乗法的性質を用いて、有限因子をp ∈ Fの各pについて、v_p(a)まで和を取る形の和の積として表現する。ここで項はG(p^K) - G(p^{K+1})の差分を含む。
• 絶対収束のような強い解析的条件を避け、点別収束の仮定によって収束を確立する。
• Ramanujan和c_q(a)の構造と、a = 1のときのMöbius関数μ(q)との関係を用いて、消える展開に必要な条件を導出する。
• Eratosthenes変換と滑らかな数の台を用いて係数の台を分析し、零関数のための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的係数を有するRamanujan展開が、有限Euler積と無限尾部に因数分解可能な条件は何か？
• RQ2 古典的Ramanujan係数G(q) = 1/qやG(q) = 1/φ(q)がなぜ絶対収束を満たさないのか。これはその表現にどのような意味を持つのか？
• RQ3 乗法的Ramanujan係数が恒等的に零関数を表すために満たすべき構造的制約は何か？
• RQ4 p進付値v_p(a)は、展開における有限Euler積の長さと形にどのように影響を与えるか？
• RQ5 集合F(G)は、零関数の乗法的Ramanujan係数を分類するために果たす役割は何か？

主な発見

• 主定理は、任意の乗法的係数関数Gと有限素数集合Fに対して、点別収束が成り立つ限り、Ramanujan展開がF上の有限Euler積とFと互いに素な整数上の無限尾部に分解可能であることを確立する。
• 有限Euler積は明示的に ∏_{p∈F} ∑_{K=0}^{v_p(a)} p^K (G(p^K) - G(p^{K+1})) と与えられ、引数aのp進付値に依存することが示される。
• 零関数の場合、Ramanujan展開が恒等的に消えるための必要十分条件は、∑_{(r,F)=1} G(r)μ(r) = 0 である。点別収束のもとで成立する。
• 本論文は、RamanujanのG(q) = 1/qおよびHardyのG(q) = 1/φ(q)が絶対収束しないことを示しており、これにより無限Euler積を許容する係数のクラスの外にあることが説明される。
• Q-滑らかな数上の有限Ramanujan展開は、v_p(a)に依存するため、無限台集合であっても有限であることが示される。
• 零関数の乗法的Ramanujan係数の分類は、F(G) = ∅、F_0(G) ≠ ∅、またはF(G) ≠ ∅かつF_0(G) = ∅ の3通りのケースに限られ、最後のケースではμ(r)に関する和条件が必須であることが示された。