[論文レビュー] Finite braid group orbits in Aff(C)-character varieties of the punctured sphere

Gaël Cousin, Delphine Moussard|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n \geq 4$ 個の穴あきリーマン球面の $\mathrm{Aff}(\mathbb{C})$-特徴多様体における有限ブレード群の軌道を、融合と有限複素反射群を用いて完全に分類する。主な結果は、有限軌道をもたらす線形モノドロミー部の正確な特定であり、これによりガルニエ系の代数的解および $F_D$-型ラウリセラ超幾何関数への新たな特徴づけが得られる。

ABSTRACT

We give a complete description of finite braid group orbits in Aff(C)-character varieties of the punctured Riemann sphere. This is performed thanks to a coalescence procedure and to the theory of finite complex reflection groups. We then derive consequences in the theory of differential equations. These concern algebraicity of isomonodromic deformations for reducible rank two logarithmic connections on the sphere, the Riemann-Hilbert problem and F_D-type Lauricella hypergeometric functions.

研究の動機と目的

• $n \geq 4$ の場合の $n$ 個の穴あきリーマン球面の $\mathrm{Aff}(\mathbb{C})$-特徴多様体における純ブレード群作用のすべての有限軌道を分類すること。
• 有限ブレード群軌道と $\mathbb{CP}^1$ 上のランク2可約対数的接続の代数的可変等モノドロミー変形との間の関係を確立すること。
• モノドロミー群の有限性を通じて、ガルニエ系および $F_D$-型ラウリセラ超幾何関数の代数的解の新たな特徴づけを導出すること。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ および $\mathbb{C}\mathbb{P}^3$ における特徴多様体およびそれらの力学的挙動の文脈で、有限複素反射群 $G_{25}$ および $G_{32}$ の体系的考察を提供すること。
• シュレスラー変形から得られる平坦接続と $F_D$-超幾何関数を記述する接続との間の共役を示し、$F_D$-系に対するシュバルツのリストを回復・精緻化すること。

提案手法

• $n=4$ から出発し、$n$ 個の穴あきの場合をより低い $n$ に還元するための融合手続きの使用。
• アフィン表現の線形部を固定することで、ブレード群作用を線形動力学に還元すること。
• 有限複素反射群のシープァード＝トッド分類を用いて、$G_{25}$ および $G_{32}$ について $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ および $\mathbb{C}\mathbb{P}^3$ における軌道の有限性を分析すること。
• 定数行列 $G = K + L + M$ の構成により、平坦接続 $d_\theta$ を $F_D$-超幾何系に共役化し、$K$、$L$、$M$ の明示的式を提示すること。
• 共役性とモノドロミーの有限性を検証するための行列式公式 $\det(G) = (-1)^{N+1}\theta_1(\alpha\theta_{N+1})^N$ の使用。
• シュレスラー系と $F_D$-超幾何系との間の射影的モノドロミー対応を確立し、シュバルツ型条件の回復を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 個の穴あき球面の fundamental 群の $\mathrm{Aff}(\mathbb{C})$-表現における、有限ブレード群軌道をもたらす線形モノドロミー部は何か？
• RQ2 融合手続きを用いて、$n > 4$ の場合の有限軌道の分類を、特に $n=4$ に還元する方法は何か？
• RQ3 $F_D$-超幾何関数の有限分岐と、特徴多様体におけるブレード群軌道の有限性との間の正確な対応は何か？
• RQ4 シュレスラー接続と $F_D$-超幾何系との間の共役が、$F_D$-系に対するシュバルツのリストの新たな導出をどのように可能にするか？
• RQ5 $F_D$-超幾何関数が有限分岐をもつためのパラメータ $\alpha, \beta_1, \ldots, \beta_N, \gamma$ の条件は何か？ そしてそれらはモノドロミーの有限性とどのように関係するか？

主な発見

• $n=4$ の場合、有限ブレード群軌道が存在するのは、線形部が $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ の有限部分群を生成する場合に限る。これはシュバルツによって分類済みである。
• 融合法により、$n \geq 4$ の場合の有限軌道の完全な分類が可能となり、$n=4$ の場合に還元し、有限個の線形群のみを分析すれば十分である。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ および $\mathbb{C}\mathbb{P}^3$ における有限軌道は、それぞれ $G_{25}$ および $G_{32}$ に対して完全に分類されている。
• 本稿では、シュレスラー変形からの平坦接続と $F_D$-超幾何系とを結ぶ明示的共役行列 $G = K + L + M$ を提供しており、$\det(G) = (-1)^{N+1}\theta_1(\alpha\theta_{N+1})^N$ が成り立つ。
• 定理6.3.1は、$N > 1$ の場合、$F_D$-超幾何関数が有限分岐をもつための必要十分条件を示しており、(a) $N=2$ かつ $\theta_i$ の4つが $\mathbb{Z}$ を法として $\pm\frac{1}{6}$ であること、または (b) $N=3$ かつすべての6つの $\theta_i$ が $\mathbb{Z}$ を法として $\pm\frac{1}{6}$ であることである。
• 本研究により、非可約 $F_D$-超幾何関数に対するシュバルツのリストが回復・精緻化され、可約な場合の平行移動部および軌道構造に関する追加データが得られた。