[論文レビュー] Finite Casimir Energies of Intersecting Objects

Martin Schaden|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、局所的対象と相互作用するスカラー場の真空中エネルギーを、非可約なN体寄与に厳密に分解する手法を提案する。N体カシミールエネルギーが、すべてのN個の物体の共通部分が空集合であるとき有限であり、物体の重なりがあっても解析的であることが示され、フェルミオン・カックの定理を用いて正則化を用いずに計算可能である。Nの偶奇に応じて符号が明確に決まり、偶数Nでは負、奇数Nでは正となる。

ABSTRACT

The vacuum energy of a bosonic field interacting locally with objects is decomposed into irreducible $N$-body parts. The irreducible $N$-body contribution to the vacuum energy is finite if the common intersection $O_1\cap O_2...\cap O_N$ of all $N$ objects $O_i,i=1,..., N$ is empty. I prove that the perturbative expansion of the corresponding irreducible $N$-body spectral function $ phi^{(N)}(\beta)$ for $\beta\sim 0$ vanishes to all orders even if some of the objects intersect. These irreducible spectral functions and their associated Casimir energies in principle can be computed numerically or approximated semiclassically without regularization or implicit knowledge of the spectrum. They are analytic in the parameters describing the relative orientation and position of the individual objects and remain finite when some, but not all, of the $N$ objects overlap. The Feynman-Kac theorem is used to compute Casimir energies of a massless scalar field with potential scattering and the finiteness of $N$-body Casimir energies is shown explicitly in this case. The irreducible $N$-body contributions to the vacuum energy of a massless scalar field with potential interactions is shown to be negative for an even- and positive for an odd- number of objects. Some simple examples are used to illustrate the analyticity of the $N$-body Casimir energy and its sign. A multiple scattering representation of the irreducible three-body Casimir energy is given. It remains finite when any two of the three objects overlap.

研究の動機と目的

• ボソン場の真空中エネルギーを、物理的に意味を持つかつ有限な非可約N体寄与に分解すること。
• 物体が交差する際の多体系カシミール効果における発散問題を解決し、N体寄与が有限となる条件を同定すること。
• スペクトル関数と経路積分法を用いて、正則化やスペクトルの事前知識が不要なカシミールエネルギーの計算フレームワークを構築すること。
• 物体の重なりがあっても、幾何的パラメータに関してN体カシミールエネルギーが解析的であることを確立すること。
• 質量のないスカラー場と散乱ポテンシャルを伴う場合のN体カシミールエネルギーの符号を特定し、Nの偶奇性に依存することを明らかにすること。

提案手法

• スペクトル関数の分解を用いて、全真空中エネルギーを非可約N体部に分解し、各部がN個の物体の固有の配置に対応することを保証する。
• フェルミオン・カックの定理を適用し、N体スペクトル関数φ^(N)(β)をブラウン運動上の経路積分として表現することで、非摂動的かつ解析的取り扱いを可能にする。
• β → 0（高温極限）において、φ^(N)(β)の摂動的展開がすべての位で消えることを示し、高温極限における発散の不在を保証する。
• すべてのN個の物体の共通部分O₁ ∩ O₂ ∩ ... ∩ O_N が存在しないことが、N体寄与の有限性の十分条件であることを用いる。
• 三体カシミールエネルギーについて、多重散乱表現を導出し、2つの物体が重なっていても有限のままであることを示す。
• 質量のないスカラー場と散乱ポテンシャルを伴う場合のN体カシミールエネルギーの符号を解析し、Nが偶数のときは負、奇数のときは正であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物体が交差する場合、非可約N体カシミールエネルギーが有限となる条件は何か？
• RQ2 正則化やスペクトルの全情報を得ずにN体カシミールエネルギーを計算できるか？
• RQ3 特にポテンシャル散乱を伴う質量のないスカラー場の場合、N体カシミールエネルギーの符号は物体数Nにどのように依存するか？
• RQ4 物体の相対的位置・姿勢に依存するN体カシミールエネルギーは、一部が重なっていても解析的か？
• RQ5 部分的重なり下でも有限のままであるような、三体カシミールエネルギーの多重散乱表現を構築できるか？

主な発見

• 非可約N体カシミールエネルギーは、すべてのN個の物体の共通部分が空集合であれば、対になる重なりがどうであれ有限である。
• N体スペクトル関数φ^(N)(β)の摂動的展開は、β → 0の極限ですべての位で消えるため、高温極限における発散が存在しないことが保証される。
• N体カシミールエネルギーは、物体の幾何的パラメータ（位置・方向）に関して解析的であり、物体の重なりがあっても成り立つ。
• 質量のないスカラー場とポテンシャル散乱を伴う場合、Nが偶数のときはN体カシミールエネルギーは負、Nが奇数のときは正である。
• 三体カシミールエネルギーについて、多重散乱表現を導出し、3つの物体のうち2つが重なっていても有限のままであることが示された。
• 本手法により、正則化や明示的なスペクトルデータが不要な数値的または半古典的計算が可能となる。