[論文レビュー] Finite correlation length implies efficient preparation of quantum thermal states

Fernando G. S. L. Brandão, Michael J. Kastoryano|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、局所ハミルトニアンの熱状態を、局所的量子チャネルから構成される対数的深さの回路を用いて、物理的に妥当な2つの仮定のもとで、効率的に準備する量子アルゴリズムを提示する。これらの仮定は、相関の指数的減衰および遮蔽領域における近似的なマルコフ性である。主な貢献は、状態の静的で検証可能な性質に基づいて、収束保証を伴う、実際に効率的な準備手法の確立であり、トポロジカルオーダーを示さない系では臨界温度を超えた範囲で有効である。

ABSTRACT

Preparing quantum thermal states on a quantum computer is in general a difficult task. We provide a procedure to prepare a thermal state on a quantum computer with a logarithmic depth circuit of local quantum channels assuming that the thermal state correlations satisfy the following two properties: (i) the correlations between two regions are exponentially decaying in the distance between the regions, and (ii) the thermal state is an approximate Markov state for shielded regions. We require both properties to hold for the thermal state of the Hamiltonian on any induced subgraph of the original lattice. Assumption (ii) is satisfied for all commuting Gibbs states, while assumption (i) is satisfied for every model above a critical temperature. Both assumptions are satisfied in one spatial dimension. Moreover, both assumptions are expected to hold above the thermal phase transition for models without any topological order at finite temperature. As a building block, we show that exponential decay of correlation (for thermal states of Hamiltonians on all induced subgraph) is sufficient to efficiently estimate the expectation value of a local observable. Our proof uses quantum belief propagation, a recent strengthening of strong sub-additivity, and naturally breaks down for states with topological order.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータ上で熱（ギブス）状態を、証明可能な有効性を備えた量子アルゴリズムとして準備すること。
• このような準備が、対数的回路深さで達成可能となる、物理的に妥当で検証可能な条件を同定すること。
• 量子ギブス状態準備における物理的直感と厳密な収束保証の間のギャップを埋めること。
• 仮定がトポロジカルオーダーを示す状態では正確に破綻することを確立し、有限深さの回路による制限と整合すること。
• 量子信念伝播および近似的回復チャネルの適用範囲を、熱状態準備へと拡張すること。

提案手法

• 局所的熱状態を接合するパッチワーク的手法を用い、相関の指数的減衰によってグローバルな整合性を保証する。
• 相関が指数的に減衰する場合に、量子信念伝播形式を用いて局所的観測量を効率的に推定する。
• 近似的回復チャネル定理を活用し、境界からの情報から消去された領域を再構築可能とし、条件付き相互情報量が小さい場合に有効である。
• 格子のすべての誘導部分グラフにおいて、相関が一様にクラスタリングされていると仮定し、系のサイズに依存しない相関の減衰を保証する。
• 一様なマルコフ性を仮定し、遮蔽領域間の条件付き相互情報量が遮蔽幅とともに減少することを要請する。
• 回路深さは系のサイズに対して対数的に増加し、誤差は深さとともに指数的に減少するため、高精度な状態準備が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、局所的チャネルから構成される量子回路を用いて、量子熱状態を効率的に準備できるか？
• RQ2 相関の指数的減衰および近似的なマルコフ性が、効率的なギブス状態準備の十分条件として機能するか？
• RQ3 これらの仮定の失敗と、量子系におけるトポロジカルオーダーの存在との間に、根本的な関連性があるか？
• RQ4 アルゴリズムの収束保証は、ハミルトニアンまたは状態の静的性質のみを用いて検証可能か？
• RQ5 この手法は、熱状態以外のクラスの量子状態の準備へと一般化可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、局所的量子チャネルのみを用いて、対数的深さの回路で、指数的に小さい誤差をもって熱状態を準備する。
• すべての誘導部分グラフにわたる相関の指数的減衰が、スペクトルギャップが存在しない場合でも、局所的観測量の効率的推定に十分である。
• 小さな条件付き相互情報量で定量化される近似的なマルコフ性により、消去された領域の局所的回復が可能となり、これはパッチワーク手順の根幹をなす。
• 仮定はすべての可換ギブス状態および臨界温度を超えた非可換モデル（特に一次元系）で成り立つ。
• トポロジカルオーダーを示す状態では、期待通り、有限深さの局所的チャネル回路ではいかなる状態も準備できないため、手法は失敗する。
• 本手法は、詳細なスペクトルギャップ解析を避ける、直感的で新しい証明戦略を提供する。その根拠は、強い加法性および信念伝播に依存する。