[論文レビュー] Finite determinacy of matrices and ideals in arbitrary characteristic

Gert–Martin Greuel, Thuy Huong Pham|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Advanced Topics in Algebra被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の特徴値をもつ形式的べき級数環上の1列行列について、有限決定性がFittingイデアルの最大高さをもつことと同値であることを確立する。正の次元のイデアルが有限接触決定可能であるための必要十分条件として、それが孤立的完全交差特異点であることであることを証明し、明示的かつ下半連続的な決定性の上限を提示し、正の特徴値における1列行列に関して、重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let M be the ring of m x n matrices A with entries in R=K[[x1,...,xs]], the ring of formal power series over an arbitrary field K. We call A finitely determined if any matrix B, with entries of A-B in ^k for some k, is left-right equivalent to A, i.e. B is contained in the G-orbit of A, where G is the group of automorphisms of R combined with the multiplication of invertible matrices from the left and from the right. Finite determinacy is an important property, which implies that A is left-right equivalent to a matrix with polynomial entries. It has been intensively studied for one power series over the complex and real numbers in connection with the classification of singularities. In positive characteristic the problem is more subtle since the tangent image may differ from the tangent space to the orbit, as was shown in one of our previous papers. There we show that finite codimension of the tangent image is sufficient for finite determinacy. The question whether it is also necessary remains open for matrices of arbitrary size in positive characteristic. In this paper we answer this question positively for 1-column matrices. For this we prove that the Fitting ideals of a finitely determined matrix have maximal height. 1-column matrices are of particular interest, since left-right equivalence of matrices corresponds to contact equivalence of the ideals in R generated by their entries. Here two ideals I and J are contact equivalent if the K-algebras R/I and R/J are isomorphic. Our main result on matrices implies that a positive dimensional ideal is finitely contact-determined if and only if it is an isolated complete intersection singularity. In addition we give explicitly computable and semicontinuous determinacy bounds. We discuss also several open problems which are of independent interest.

研究の動機と目的

• 正の特徴値における1列行列に関して、有限決定性に必要な条件として、接空間への像の有限余次元が必須であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• イデアルの有限接触決定可能性の特徴づけを、孤立的完全交差特異点の観点から行うこと。
• 任意の特徴値における1列行列およびイデアルに関して、明示的かつ下半連続的な決定性の上限を導出すること。
• Fittingイデアルが有限決定性に与える役割を明確にし、有限に決定可能な行列に対しては、それらのイデアルが最大高さをもつ必要があることを示すこと。
• 正の特徴値における行列およびイデアルの分類に関する基礎的問題に取り組むこと。

提案手法

• 任意の体Kに対するR = K[[x1,...,xs]]上の1列行列における左-右同値の群作用を分析する。
• 軌道の接空間への像を用いて有限決定性を研究し、接空間内でのその余次元に注目する。
• Fittingイデアルの理論を用いて、有限決定性に必要な高さ条件を特徴づける。
• 行列の有限決定性とイデアルの接触同値性の間の対応関係を確立し、問題をイデアル分類の問題に還元する。
• 行列間の差の零点の位数に基づいて、下半連続的な決定性上限を導出する。
• 1列行列の左-右同値とイデアルの接触同値との間の同値性を活用し、行列とイデアルの設定の間で有限決定性の結果を移転する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特徴値における1列行列に関して、有限決定性に必要な条件として、接空間への像の有限余次元が必須であるか？
• RQ2 任意の特徴値における行列のFittingイデアルに、有限に決定可能であるための明確な代数的条件は何か？
• RQ3 R = K[[x1,...,xs]]におけるイデアルが有限接触決定可能であるのはいつか？ そしてこれは特異点の型とどのように関係するか？
• RQ4 任意の特徴値における1列行列に関して、明示的かつ下半連続的な決定性上限を計算可能か？
• RQ5 1列行列の左-右同値による分類は、イデアルの接触同値による分類とどのように関係するか？

主な発見

• R = K[[x1,...,xs]]上の1列行列は、そのFittingイデアルが最大高さをもつときかつそのときに限り、有限に決定可能である。
• 1列行列の有限決定性は、その行列が多項式係数の行列と左-右同値であることを意味する。
• Rにおける正の次元のイデアルは、それが孤立的完全交差特異点であるときかつそのときに限り、有限接触決定可能である。
• 本稿では、任意の特徴値における1列行列について、明示的に計算可能で下半連続的な決定性上限を提示する。
• 本研究の結果により、任意の体上の1列行列に関して、有限決定性に必要な接空間への像の有限余次元の必要性という未解決問題が解決された。
• 1列行列の左-右同値とイデアルの接触同値との間の同値性により、行列とイデアルの設定の間で有限決定性の結果を相互に移転可能である。