[論文レビュー] Finite determinacy of matrices over local rings.II. Tangent modules to the miniversal deformations for group-actions involving the ring automorphisms

Genrich Belitskii, Dmitry Kerner|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局aura環上の行列の有限決定性に関する基準を、環自己同型（例：座標変換）を含む群作用に関して確立する。これは、従来の $GL(m,R) \times GL(n,R)$-作用の結果を拡張するものである。最小変形の接モジュール $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ を分析し、その零化環に対する境界を導出し、対称行列・反対称行列、モジュール、形式の有限決定性を決定づける明示的な補助条件を提示する。

ABSTRACT

We consider matrices with entries in a local ring, Mat(m,n;R). Fix an action of group G on Mat(m,n;R), and a subset of allowed deformations, Σin Mat(m,n;R). The standard question (along the lines of Singularity Theory) is the finite-(Σ,G)-determinacy of matrices. In our previous work this determinacy question was reduced to the study of the tangent spaces to Σand to the orbit, T_{(Σ,A)}, T_{(GA,A)}, and their quotient: the tangent module to the miniversal deformation. In particular, the order of determinacy is controlled by the annihilator of this tangent module. Then we have studied this tangent module for the group action GL(m,R) imes GL(n,R) on Mat(m,n;R) and for various natural subgroups of it. These are R-linear group actions. In the current work we study this tangent module for group actions that involve the automorphisms of the ring, or, geometrically, group-actions that involve the local coordinate changes. (These actions are not R-linear.) We obtain various bounds on the support of this module. This gives ready-to-use criteria of determinacy for matrices, (embedded) modules and (skew-)symmetric forms.

研究の動機と目的

• 環自己同型（例：局所座標変換）を含む群作用に関して、有限決定性理論を線形作用に加えて拡張すること。
• 特に対称行列および反対称行列の文脈において、このような作用に対する接モジュール $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ を分析すること。
• 接モジュール $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ の補助集合およびその零化環に基づく、有限決定性の明示的基準を導出すること。
• Maranda型の結果を一般化し、非 $R$-線形変換を含む作用に対し、ジェットの十分性を検討すること。
• 座標変換が存在する状況における、有限決定性を保証する幾何的および代数的条件（特に特異点集合に注目）を提示すること。

提案手法

• 有限 $(\Sigma,G)$-決定性を、接モジュール $T^1_{(\Sigma,G,A)} = T_{(\Sigma,A)} / T_{(GA,A)}$ の研究に帰着させる。
• 素イデアルにおける局所化および剰余体上でのランクの計算を通じて、$T^1_{(\Sigma,G,A)}$ の補助集合を分析する。
• 合同作用の下での行列の分解を用い、$I_j(A)$ や $\det(A)$ のような不変量に問題を還元する。
• 特異点理論からの結果（例：合同軌道の余次元）を応用し、$T_{(\mathcal{G}_{congr}A,A)}$ のランクを上界で評価する。
• 局所化および一般点の解析に依拠し、$T^1_{(\Sigma,G,A)}$ が原点でのみ補助集合を持つ条件を特定する。
• $\mathfrak{m}^N \subseteq \operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,G,A)})$ が有限決定性と同値であるという条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用に環自己同型（例：座標変換）を含む場合、行列 $A \in Mat_{m\times n}(R)$ がいつ有限決定的となるか。
• RQ2 座標変換が存在する状況で、接モジュール $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ の補助集合がどのように有限決定性を決定づけるか。
• RQ3 対称または反対称行列の有限決定性を保証するための、特異点集合 $V(I_j(A))$ に対する幾何的条件は何か。
• RQ4 $\operatorname{Der}_{\mathbb{k}}(R)$ が接空間に含まれる場合、$T^1_{(\Sigma,G,A)}$ の構造にどのような影響を与えるか。
• RQ5 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ が原点でのみ補助集合を持つのはどのような条件下か、これは有限決定性を示唆する。

主な発見

• 合同群 $\mathcal{G}_{congr} = GL(m,R) \rtimes \operatorname{Aut}_{\mathbb{k}}(R)$ の下で対称行列に対しては、$\operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,\mathcal{G}_{congr},A)}) = \{0\}$ が成り立つ場合に有限決定性が成立し、これは $\operatorname{rank}(\operatorname{Der}_{\mathbb{k}}(R)) < \lfloor m/2 \rfloor$ のときに成立する。
• $T^1_{(\Sigma,\mathcal{G}_{congr},A)}$ の零化環は、1次特異点集合 $\operatorname{Sing}_1(\det(A))$ に補助集合を持つ。
• 反対称行列の場合、$\operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,\mathcal{G}_{congr},A)})$ は $\operatorname{Sing}_1(I_{m-1}(A))$ に補助集合を持つ。
• 正則でネノリアン、ヘンゼリアンな状況では、$A \in Mat^{sym}_{m\times m}(R)$ が有限-$(\Sigma^{sym},\mathcal{G}_{congr})$-決定的であることの必要十分条件は、すべての $V(I_j(A))$ が期待される次元を持ち、$V(I_j(A)) \setminus V(I_{j-1}(A))$ が滑らかであることである。
• $\operatorname{rank}(\operatorname{Der}_{\mathbb{k}}(R)) < \lfloor m/2 \rfloor$ のとき、$T^1_{(\Sigma,G,A)}$ は $\operatorname{Spec}(R)$ 上で一般に補助集合を持つため、$\operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,G,A)}) = \{0\}$ が成り立つ。
• 有限決定性の基準は $\mathfrak{m}^N \subseteq \operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,G,A)})$ と同値であり、これは $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ が原点でのみ補助集合を持つ場合に成り立つ。