[論文レビュー] Finite difference method for a general fractional porous medium equation

Félix del Teso, Juan Luís Vázquez|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 14被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、一般の指数 $ m \geq 1 $ および $ \sigma \in (0,2) $ を持つ分数マスダム方程式に対して、非局所的分数ラプラシアンを扱うために Caffarelli-Silvestre の拡張を用いた有限差分スキームを提案する。この手法は、収束次数 $ O(\Delta t + \Delta x^{2-\sigma} + \frac{\Delta x^a}{\Delta t}) $ を達成し、理論的解に対する数値解の存在、一意性、収束性を厳密に証明している。

ABSTRACT

We formulate a numerical method to solve the porous medium type equation with fractional diffusion \[ \frac{\partial u}{\partial t}+(-Δ)^{σ/2} (u^m)=0 \] posed for $x\in \mathbb{R}^N$, $t>0$, with $m\geq 1$, $σ\in (0,2)$, and nonnegative initial data $u(x,0)$. We prove existence and uniqueness of the solution of the numerical method and also the convergence to the theoretical solution of the equation with an order depending on $σ$. We also propose a two points approximation to a $σ$-derivative with order $O(h^{2-σ})$.

研究の動機と目的

• 一般の分数マスダム方程式（非局所拡散を伴う）のための安定な数値スキームの開発。
• $ \sigma \neq 1 $ の場合における分数ラプラシアンの実装の課題に、拡張法を用いて対処する。
• 理論的解に対する数値解の存在、一意性、収束性の証明。
• 分数階数 $ \sigma $ に依存する収束速度の確立。
• 有界領域上の数値解が、領域を拡大する際に $ \mathbb{R}^N $ 上の解に収束することを保証する。

提案手法

• 分数拡散項 $ (-\Delta)^{\sigma/2}(u^m) $ は、Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて再定式化され、非局所問題が1次元高い局所PDEに変換される。
• 拡張された問題は、適切な境界条件を備えた有界計算領域 $ \Omega = [-X,X] \times [0,X] $ 上で有限差分スキームにより解かれる。
• 拡張定式化に現れる重み付き微分 $ \partial / \partial y^\sigma $ に対して、2点差分近似（$ O(h^{2-\sigma}) $ 階）を提案する。
• 数値スキームは安定かつ収束性が証明され、局所切捨て誤差が $ O(\Delta t + \Delta x^{2-\sigma}) $ で有界であることが示される。
• 領域 $ \Omega \to \mathbb{R}^N $ となる極限（$ \Delta x \to 0 $）において、境界誤差が Barenblatt 解の推定を用いて制御され、有界領域上の数値解が全空間解に収束することが確立される。
• 理論的収束は、$ \Delta t \leq C(m,f) \Delta x^\sigma $ の仮定の下で証明され、スキームの安定性と整合性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ \sigma \in (0,2) $ および $ m \geq 1 $ に対して、分数マスダム方程式の解を正確かつ安定に近似できる有限差分法を構築可能か？
• RQ2 数値スキームにおいて、非局所的分数ラプラシアンを効率的かつ正確に近似する方法は何か？
• RQ3 提案された数値スキームの収束速度は何か？ また、それは分数階数 $ \sigma $ にどのように依存するか？
• RQ4 有界領域上の数値解は、どのようにして全空間 $ \mathbb{R}^N $ 上の解に収束するか？
• RQ5 数値解が理論的解に収束するためには、領域サイズと時間刻みにどのような条件が必要か？

主な発見

• 提案された有限差分スキームは、数値解の存在と一意性が証明されている。
• 収束次数 $ O(\Delta t + \Delta x^{2-\sigma} + \frac{\Delta x^a}{\Delta t}) $ を達成し、$ a $ は $ \sigma $ に依存する。$ \sigma \in (0,1] $ の場合 $ a=2 $、$ \sigma \in (1,3/2] $ の場合 $ a=3 $、$ \sigma \in (3/2,2) $ の場合 $ a=4 $ である。
• $ \sigma $-微分に対する2点近似は、局所切捨て誤差が $ O(h^{2-\sigma}) $ 階となることが示され、与えられた離散化において最適である。
• 領域 $ \Omega $ が $ |X| \geq L \cdot \Delta x^{-a/(N+\sigma)} $ を満たす限り、有界領域上の数値解が $ \mathbb{R}^N $ 上の解に収束することが保証される。これにより境界誤差が $ \Delta x^a $ で減少することが保証される。
• 安定性条件 $ \Delta t \leq C(m,f) \Delta x^\sigma $ の下で収束速度が最適であることが示され、スキームの整合性と安定性が保証される。
• 理論的収束は数値的にも検証され、誤差は時間誤差、空間誤差、境界切捨て誤差の和で抑えられ、すべてが Barenblatt 解の推定を用いて制御されている。