[論文レビュー] Finite Difference Weights Using The Modified Lagrange Interpolant

Burhan Sadiq, Divakar Viswanath|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

Numerical methods for differential equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、修正されたラグランジュ補間を用いた有限差分重みの最適化アルゴリズムを提示する。Fornbergの手法と比較して算術演算を $4/(5m+5)$ 倍削減しつつ、同一の精度を維持する。高次導関数（$m=16$ まで）の安定な計算が可能であり、有限差分公式が超収束精度を達成する条件を明らかにした。実グリッド点の場合、次数1を超える精度の向上は不可能であることを証明した。

ABSTRACT

Let $z_{1},z_{2},...,z_{N}$ be a sequence of distinct grid points. A finite difference formula approximates the $m$-th derivative $f^{(m)}(0)$ as $\sum w_{k}f(z_{k})$, with $w_{k}$ being the weights. We derive an algorithm for finding the weights $w_{k}$ which is an improvement of an algorithm of Fornberg (\emph{Mathematics of Computation}, vol. 51 (1988), p. 699-706). This algorithm uses fewer arithmetic operations than that of Fornberg by a factor of $4/(5m+5)$ while being equally accurate. The algorithm that we derive computes finite difference weights accurately even when $m$, the order of the derivative, is as high as 16. In addition, the algorithm generalizes easily to the efficient computation of spectral differentiation matrices. The order of accuracy of the finite difference formula for $f^{(m)}(0)$ with grid points $hz_{k}$, $1\leq k\leq N$, is typically $\mathcal{O}(h^{N-m})$. However, the most commonly used finite difference formulas have an order of accuracy that is higher than the typical. For instance, the centered difference approximation $(f(h)-2f(0)+f(-h))/h^{2}$ to $f(0)$ has an order of accuracy equal to 2 not 1. Even unsymmetric finite difference formulas can exhibit such superconvergence or boosted order of accuracy, as shown by the explicit algebraic condition that we derive. If the grid points are real, we prove a basic result stating that the order of accuracy can never be boosted by more than 1.

研究の動機と目的

• 高次導関数の有限差分重みを正確に計算するための、計算コストを低減したより効率的なアルゴリズムの開発。
• 有限差分公式が超収束（通常よりも高い）精度を達成する条件の分析。
• スペクトル微分行列の効率的計算へのこの手法の一般化。
• 実グリッド点を用いた有限差分スキームにおける精度向上の理論的限界の確立。

提案手法

• アルゴリズムは、Fornbergのアプローチを改善した形のラグランジュ補間の修正形を用いて有限差分重みを計算する。
• 相異なるグリッド点 $z_k$ における多項式補間を活用し、$f^{(m)}(0)$ を $\sum w_k f(z_k)$ により近似する重み $w_k$ を導出する。
• 算術演算を $4/(5m+5)$ 倍削減しつつも、精度を維持する。特に高次導関数に対して顕著な効果を示す。
• 擬スペクトル法に用いるスペクトル微分行列の構築へ自然に一般化可能である。
• 有限差分公式が超収束精度を達成するかどうかを判別する明示的な代数的条件を導出する。
• 実グリッド点の場合、精度の向上は通常の $\mathcal{O}(h^{N-m})$ に対して1次より多くは不可能であることを理論的に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次導関数の有限差分重みを正確に計算するための最小限の計算コストは何か？
• RQ2 有限差分公式がいつ超収束精度を達成するか？
• RQ3 このアルゴリズムは、スペクトル微分行列の効率的計算に拡張可能か？
• RQ4 実グリッド点を用いた有限差分スキームにおいて、精度向上の理論的上限は何か？
• RQ5 修正ラグランジュ補間は、Fornbergのアルゴリズムに比べて、演算回数と安定性の面でどのように改善されるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、Fornbergの手法と比較して算術演算を $4/(5m+5)$ 倍削減し、大幅な効率向上を実現した。
• 本手法は、$m=16$ に達するまで高次導関数の重みを正確に計算可能である。
• 有限差分公式は超収束精度を達成可能であり、本稿ではそのような場合を特定する明示的な代数的条件を導出した。
• 実グリッド点の場合、精度の向上は通常の $\mathcal{O}(h^{N-m})$ のレートに対して1次より多くは不可能である。
• アルゴリズムは、擬スペクトル法への応用を支援するスペクトル微分行列の効率的計算へも効果的に一般化可能である。