[論文レビュー] Finite Dimensional Intuitionistic Fuzzy Normed Linear Space

T. K. Samanta, Iqbal H. Jebril|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2008

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限次元線形空間における直感的ファジィノルム（IFN）の新しい定義を導入し、完備性やコンパクト性の基盤的性質を確立する。直感的ファジィ連続性と逐次的直感的ファジィ連続性が同値であることを証明し、このような連続写像によるコンパクト集合の像が依然としてコンパクトであることを示す。

ABSTRACT

Following the definition of intuitionistic fuzzy n-norm [ 3 ], we have introduced the definition of intuitionistic fuzzy norm (in short IFN) over a linear space and there after a few results on intuitionistic fuzzy normed linear space and finite dimensional intuitionistic fuzzy normed linear space. Lastly, we have introduced the definitions of intuitionistic fuzzy continuity and sequentially intuitionistic fuzzy continuity and proved that they are equivalen

研究の動機と目的

• 線形空間上に、所属度と非所属度の両方を組み込んだファジィノルムの一般化として、新しい直感的ファジィノルム（IFN）を定義すること。
• 有限次元直感的ファジィノルム線形空間が完備であるための条件を確立すること。
• 有限次元直感的ファジィノルム線形空間におけるコンパクト部分集合を特徴付けること。
• 直感的ファジィ連続性を定義・分析し、逐次連続性との同値性を検証すること。
• コンパクト集合の直感的ファジィ連続写像による像が、必ずコンパクトであることを証明すること。

提案手法

• 連続なt-ノルムとt-コノルムを用いて、ベクターノルムの所属度と非所属度をモデル化する新しいIFN構造を提案する。
• 線形空間 $ V $ 上に、関数 $ N(x,t) $（所属度）と $ M(x,t) $（非所属度）を用いてIFNを定義し、斉次性、三角不等式、極限挙動などの公理を満たすようにする。
• t-ノルムとt-コノルムの演算を用いて、異なるスケールやベクトル間のノルムを比較する。
• $ \varepsilon $-$ \alpha $-$ \delta $-$ \beta $-に基づく定義を用いて直感的ファジィ連続性を導入し、微小な摂動に対しても安定性を保証する。
• 逐次収束の議論を用いて、直感的ファジィ連続性と逐次的直感的ファジィ連続性の同値性を証明する。
• 部分列収束を用いてコンパクト性を定義：コンパクト集合内の任意の列は、IFN位相において収束する部分列を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元直感的ファジィノルム線形空間が完備であるための条件は何か？
• RQ2 有限次元直感的ファジィノルム線形空間におけるコンパクト性はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 直感的ファジィ連続性と逐次的直感的ファジィ連続性の概念は同値か？
• RQ4 直感的ファジィ連続写像によるコンパクト集合の像は、常にコンパクトか？
• RQ5 直感的ファジィノルムの構造は、ファジィ内積構造から導出可能か？

主な発見

• 有限次元直感的ファジィノルム線形空間が完備であるのは、基礎となるt-ノルムとt-コノルムが標準的な連続性および単調性の公理を満たす場合に限る。
• 有限次元直感的ファジィノルム線形空間の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、その部分集合内の任意の列がIFN位相において収束する部分列を含むことである。
• 直感的ファジィ連続性と逐次的直感的ファジィ連続性は、直感的ファジィノルム線形空間において同値である。
• コンパクト集合の直感的ファジィ連続写像による像は、値域空間においてもコンパクトである。
• 連続性概念の同値性の証明は、$ y_n \to x_0 $ だが $ f(y_n) \not\to f(x_0) $ となるような列 $ \{y_n\} $ を構成することに依拠しており、連続性が成立しない場合に矛盾に導く。
• 極限挙動 $ \lim_{t \to \infty} N(x,t) = 1 $ および $ \lim_{t \to \infty} M(x,t) = 0 $ は、ノルム構造が漸近的に古典的ノルムと同様に振る舞うことを保証する。