[論文レビュー] Finite-dimensional observer-based boundary stabilization of reaction-diffusion equations with a either Dirichlet or Neumann boundary measurement

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用数 48

ひとこと要約

本論文は、Dirichlet または Neumann の境界測定を用いる反応拡散型偏微分方程式に対して、有限次元のオブザーバベース境界制御を提案し、オブザーバの次数が十分大きい場合に H1 安定性を保証する LMI ベースの設計条件を提供する。

ABSTRACT

This paper investigates the output feedback boundary control of\nreaction-diffusion equations with either distributed or boundary measurement by\nmeans of a finite-dimensional observer. A constructive method dealing with the\ndesign of finite-dimensional observers for the feedback stabilization of\nreaction-diffusion equations was reported in a recent paper in the case where\neither the control or the observation operator is bounded and also satisfies\ncertain regularity assumptions. In this paper, we go beyond by demonstrating\nthat a finite-dimensional state-feedback combined with a finite-dimensional\nobserver can always be successfully designed in order to achieve the Dirichlet\nboundary stabilization of reaction-diffusion PDEs with a either Dirichlet or\nNeumann boundary measurement.\n

研究の動機と目的

• 有限次元オブザーバを用いた放物型PDEの出力フィードバック境界安定化を動機づけ、実現する。
• 従来の有限次元オブザーバ設計を境界測定（Dirichlet または Neumann）へ拡張する。
• H1ノルムで閉ループの安定性を保証する構成可能な LMI ベース条件を提供する。
• 観測モード数を増やし、スケーリング手法を用いることで安定性を達成できることを示す。

提案手法

• 固有モードを用いたスペクトル（モード）還元により、PDEをその固有モードで表現する。
• 最初の N モードの有限次元オブザーバを設計し、最初の N0 モードに対して状態フィードバックを適用する。
• 観測機とコントローラのループを伴う指数安定性を証明する Lyapunov に基づく LMI（Theta1、Theta2）を定式化する。
• 測定が境界ベースの場合に出力のスケーリングを導入して、N が増加しても LMI を実行可能に保つ。
• Dirichlet 制御を Dirichlet または Neumann 測定と組み合わせて提供（セクション 3–5）し、提示された LMI 条件の下で安定性を証明する。
• 境界制御を扱うための補助的な積分作用を適用し、H1 収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界測定下で反応拡散型PDEを安定化させる有限次元オブザーバをどのように設計できるか？
• RQ2 Dirichlet と Neumann の境界観測の両方に適用できる統一的な LMI ベース設計を開発できるか？
• RQ3 オブザーバ次数と LMI に関するどの条件が H1 ノルムでの指数安定性を保証するか？
• RQ4 観測モード数が増えると出力のスケーリングは LMI の実行可能性をどのように高めるか？
• RQ5 提案された設計は構成可能で、Dirichlet および Neumann 観測の両方のシナリオに適用可能か？

主な発見

• 境界安定化された反応拡散 PDE の有限次元オブザーバを設計する構成的手法を提供する。
• Dirichlet および Neumann 観測のいずれに対しても、十分大きいオブザーバ次数 N のとき Theta1 および Theta2 の LMI の下で安定性が保証される。
• N が増加しても LMI が実行可能になるスケーリング手順を提供し、多くのモードを観測することで安定化を実現する。
• 前述の条件が成り立つと、閉ループ系は H1ノルムで指数安定性を達成する。
• この手法は、Dirichlet および Neumann の境界測定を含む、境界測定というより困難なケースへの前提結果を拡張する。