[論文レビュー] Finite-Dimensional Representations constructed from Random Walks

Anna Erschler, Narutaka Ozawa|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群表現における1-コサイクルの有限次元和成分について、確率的基準を確立する。このような和成分は、確率的に一定値に収束するランダムウォークの軌道に沿った正規化された $ L^2 $-ノルムが成り立つ場合に限り、コホモロジー的に自明である。この結果により、シャラムの性質 $ H_{\mathrm{FD}} $ の新たな十分条件が得られ、無限のバージョンアーベル的商群をもたないアメーブル群において、正規化された差分測度 $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ の収束が証明され、ヒルバート空間への調和的等長写像が超フィルターの選択に依存することが示された。

ABSTRACT

Given a $1$-cocycle $b$ with coefficients in an orthogonal representation, we show that any finite dimensional summand of $b$ is cohomologically trivial if and only if $\| b(X_n) \|^2/n$ tends to a constant in probability, where $X_n$ is the trajectory of the random walk $(G,μ)$. As a corollary, we obtain sufficient conditions for $G$ to satisfy Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$. Another application is a convergence to a constant in probability of $μ^{*n}(e) -μ^{*n}(g)$, $n\gg m$, normalized by its average with respect to $μ^{*m}$, for any finitely generated amenable group without infinite virtually Abelian quotients. Finally, we show that the harmonic equivariant mapping of $G$ to a Hilbert space obtained as an $U$-ultralimit of normalized $μ^{*n}- g μ^{*n}$ can depend on the ultrafilter $U$ for some groups.

研究の動機と目的

• 1-コサイクルの有限次元和成分がいつコホモロジー的に自明であるかを、ランダムウォークの確率的挙動を用いて特徴付けること。
• $ \|b(X_n)\|^2 / n $ の漸近的挙動を用いて、群がシャラムの性質 $ H_{\mathrm{FD}} $ を満たすための十分条件を導出すること。
• 無限のバージョンアーベル的商群をもたないアメーブル群において、正規化された差分測度 $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ の収束を分析すること。
• 超極限構成における超フィルターの選択に起因する調和的等長写像の依存性を調査すること。

提案手法

• 対称的ランダムウォーク $ (G,\mu) $ の軌道 $ X_n $ を用いて、1-コサイクル $ b $ の $ L^2 $-ノルムの成長、特に $ \|b(X_n)\|^2 / n $ を分析する。
• 1-コサイクル $ b $ の有限次元和成分のコホモロジー的自明性と、$ \|b(X_n)\|^2 / n $ が定数に確率収束することとの同値性を確立する。
• 調和的コサイクルのマルティンググール性を用いて、期待値の成長率が定数 $ \mathbb{E}[\|b(X_n)\|^2]/n = \mathbb{E}[\|b(X_1)\|^2] $ に一致することを導出する。
• 超極限構成を用いて調和的等長写像 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ を定義し、その超フィルター $ U $ への依存性を分析する。
• グリゴルチュー群の積を用いた具体的な例を構成し、超フィルター依存性および $ \ell_p $-スリム部分群の挙動を示す。
• ケイリー図における球の構造とスケーリング関数を用いて、局所幾何が同型である群間で、差 $ s(\mu^{*n})^q - (\mu^{*n})^q $ の $ \ell_p $-ノルムを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムウォークの軌道に対して、どのような確率的条件下で1-コサイクルのすべての有限次元和成分がコホモロジー的に自明になるか？
• RQ2 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ の漸近的挙動を用いて、群がシャラムの性質 $ H_{\mathrm{FD}} $ を満たすための新たな十分条件を導出できるか？
• RQ3 無限のバージョンアーベル的商群をもたない無限アメーブル群において、$ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ を $ \mu^{*m} $ に対する平均で正規化したとき、それが確率的に定数に収束するか？
• RQ4 超フィルター $ U $ を用いた $ \mu^{*n} - g\mu^{*n} $ の $ U $-超極限として得られる調和的等長写像 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ は、超フィルター $ U $ の選択に依存するか？もしそうならば、どのような群でその現象が生じるか？

主な発見

• 1-コサイクル $ b $ の有限次元和成分は、$ \|b(X_n)\|^2 / n $ が確率的に定数に収束する場合に限り、コホモロジー的に自明である。
• $ \|b(X_n)\|^2 / n \to c $ が確率的に成り立つことは、$ G $ がシャラムの性質 $ H_{\mathrm{FD}} $ を満たすことを示唆し、新たな十分条件を提供する。
• 任意の有限生成の無限アメーブル群で、無限のバージョンアーベル的商群をもたない場合、$ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ を $ \mu^{*m} $ に対する平均で正規化した量は、$ n \gg m $ のとき確率的に定数に収束する。
• 超フィルター $ U $ を用いた $ \mu^{*n} - g\mu^{*n} $ の $ U $-超極限として得られる調和的等長写像 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ は、超フィルター $ U $ に依存する可能性がある。これは特定のグリゴルチュー群の積において明示的に示された。
• $ D $ 重の特定のグリゴルチュー群の積では、少なくとも $ D $ 個の異なる $ \ell_p $-スリム部分群 $ H_{\mu,p,q} $ が存在し、それぞれが1つの因子群を除いてすべての因子群を含む。
• 各 $ j \in \{1, \dots, D\} $ に対して、主な $ \ell_p $-スリム部分群 $ H_{\mu,p,q} $ が $ \prod_{k \neq j} G_k $ を含むような列 $ n_{i,j} $ が存在する。