[論文レビュー] Finite dimensional representations of rational Cherednik algebras

Yuri Berest, Pavel Etingof+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、A型の有理Cherednik代数の有限次元非可約表現の完全な分類と特性式を提供しており、このような表現はパラメータ $ c = \pm r/n $ においてのみ存在し、$ \gcd(r,n) = 1 $ を満たす。また、有限次元非可約モジュールは、$ c = r/n $ の場合にのみ $ L(\text{triv}) $ であり、$ c = -r/n $ の場合にのみ $ L(\text{sign}) $ である。さらに、幾何的実現を通じてヒルベルトスキームや perverse sheaves と関連づけられ、$ (q,t) $-Catalan数と Kostka 多項式を含む双次数特性式に関する予想が提示されている。

ABSTRACT

A complete classification and character formulas for finite-dimensional irreducible representations of the rational Cherednik algebra of type A is given. Less complete results for other types are obtained. Links to the geometry of affine flag manifolds and Hilbert schemes are discussed.

研究の動機と目的

• 有理Cherednik代数 $ \mathcal{H}_c(S_n) $ のすべての有限次元非可約表現を分類すること、すなわち $ W = S_n $ の場合。
• これらの表現の特性式を導出し、パラメータ $ c \in \mathbb{C} $ に基づく構造を理解すること。
• 有限次元表現とヒルベルトスキームの点のモジュライ空間などの幾何的関係を確立すること。
• 関連する層のグレード付きモジュール $ \mathtt{gr} L(\text{triv}) $ とヒルベルトスキーム上のラインバンドルのコホモロジーとの間の明確な関係を、$ (q,t) $-Catalan数と Kostka 多項式を含む予想として提示すること。

提案手法

• 標準モジュールの構成 $ M(\tau) = \mathcal{H}_c \otimes_{\mathbb{C}[\mathfrak{h}^*]\#W} \tilde{\tau} $ を用い、$ \tilde{\tau} $ を $ W $-加群 $ \tau $ をクロス積代数に拡張したものとする。
• カテゴリ $ \mathcal{O}(\mathcal{H}_c) $ の理論を適用し、これは $ \mathfrak{h} $-作用が局所冪零であるような $ \mathcal{H}_c $-加群の有限生成モジュールのカテゴリとして定義される。
• $ L_c(\text{triv}) $ の最低重量モジュールに $ \mathfrak{h} $ の作用を用いてフィルトレーションを構成し、関連するグレード付きモジュール $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ を二重次数空間として分析する。
• $ \mathbf{e} $ を原始的イデムポテンであるとし、$ \mathtt{gr}(\mathbf{e} \cdot L_c(\text{triv})) $ の二重次数特性式を定義し、$ \text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2) $ 上のラインバンドルのコホモロジーと関連付ける。
• $ \mathcal{H}_c \cong \mathcal{H}_{\varepsilon \cdot c} $ である群の特徴によるねじれを用い、$ c $ と $ \varepsilon \cdot c $ における表現を関連づけ、表現カテゴリの同値性を保つ。
• 予想として、$ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ と $ H^0(\text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2), \mathscr{R} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) $ の間の明確な関係を提示する。ここで $ \mathscr{R} $ は $ S_n $-作用を備えた標準的バンドルである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ c \in \mathbb{C} $ がどのような値をとるときに、有理Cherednik代数 $ \mathcal{H}_c(S_n) $ の有限次元非可約表現が存在するか？
• RQ2 これらの有限次元非可約表現が存在する場合の明示的な特性式は何か？
• RQ3 これらの表現はヒルベルトスキームや $ \text{Hilb}^n(\mathbb{C}^2) $ 上の層コホモロジーの観点からどのように幾何的に実現されるか？
• RQ4 $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ の二重次数構造と $ (q,t) $-Catalan数や Kostka 多項式との間の明確な関係は何か？
• RQ5 $ \mathcal{H}_c $-加群 $ L_c(\text{triv}) $ は、穴あきヒルベルトスキーム上のラインバンドルのコホモロジーを用いて $ W $--equivariant $ \mathbb{T} $-加群として実現可能か？

主な発見

• 有限次元非可約表現 $ \mathcal{H}_c(S_n) $ は、$ r \in \mathbb{N} $ で $ \gcd(r,n) = 1 $ を満たすとき、$ c = \pm r/n $ のみに存在し、これらが唯一のパラメータである。
• $ c = r/n $ の場合、有限次元非可約表現は唯一 $ L(\text{triv}) $ であり、$ c = -r/n $ の場合、唯一 $ L(\text{sign}) $ である。これにより、A型における完全な分類が確立された。
• $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ は $ \mathfrak{h} $-作用から自然な二重次数をもち、その二重次数特性式は $ c = 1/n + k $ のとき $ (q,t) $-Catalan数 $ C_n^{(k)}(q,t) $ に予想される。
• 予想 7.10 は $ \mathtt{gr}(\mathbf{e} \cdot L_c(\text{triv})) $ を $ H^0(\text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2), \mathcal{L}^{\otimes k}) $ に同定し、モジュール構造の幾何的実現を提供する。
• 予想 7.11 は $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ を $ \mathsf{sign} \otimes H^0(\text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2), \mathscr{R} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) $ と関連づけ、ここで $ \mathscr{R} $ は $ S_n $-作用を備えた標準的バンドルである。
• $ k = 0 $ の場合の予想 7.11 は既知の事実であり、Gordon の対角調和関数に関する結果を再現し、初期状況での予想の正当性を確認する。