[論文レビュー] Finite dimensional solutions to SPDEs and the geometry of infinite jet bundles

De Vecchi, Carla De Francesco|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限ジュートバンドルを用いた幾何的枠組みを導入することで、決定的PDEから確率的PDE（SPDE）への微分制約法の拡張を試み、有限次元解の明示的計算を可能にした。金融におけるHJM、流体力学、フィルタリング理論のSPDEに適用可能な実用的アルゴリズムを構築し、かつては知られていなかった有限次元解を導出する。

ABSTRACT

Finite dimensional solutions to a class of stochastic partial differential equations are obtained extending the differential constraints method for deterministic PDE to the stochastic framework. A geometrical reformulation of the stochastic problem using the concept of infinite jet bundles is provided and a practical algorithm for explicitly computing these finite dimensional solutions is developed. This method, covering the majority of the current literature, is applied to a set of new SPDEs admitting finite dimensional solutions taken from Heath-Jarrow-Morton framework, stochastic hydrodynamics and filtering theory.

研究の動機と目的

• 決定的PDEに効果的である微分制約法を確率的設定に拡張すること。
• 無限ジュートバンドルを用いた幾何的再定式化により、SPDEの解構造を捉えること。
• SPDEの有限次元解を明示的に計算するための実用的アルゴリズムの開発。
• 金融、流体動力学、フィルタリング分野における、有限次元解を許容する新しいSPDEのクラスの同定と解法。
• 単一の幾何的・アルゴリズム的枠組みの下で、既存の有限次元SPDEに関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 伊藤積分と確率微分を組み込むことで、微分制約法をSPDEに適応する。
• 高階微分と確率的制約を符号化するため、無限ジュートバンドルの幾何学を用いてSPDE問題を再定式化する。
• 元のSPDEの有限次元解を特徴付ける、ジュート空間上の決定的PDE系を導出する。
• 再帰的アルゴリズムを適用して得られた系を解き、SPDEを有限次元のODEまたはPDE系に還元する。
• ジュートバンドル形式を用いて、SPDEにおける非マルコフ型および非セミマルティンガール構造を体系的かつ効果的に取り扱う。
• 既知のSPDEに対してこの手法を検証し、ヘイズ・ジャロウ・モーガン枠組み、確率的流体力学、非線形フィルタリングからの新しいSPDEにまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的構造を用いて、微分制約法を確率的PDEに一般化できるか？
• RQ2 無限ジュートバンドルをどのように系統的に用いてSPDEを再定式化し、解けるようにできるか？
• RQ3 この枠組み下で、どのようなSPDEのクラスが有限次元解を許容するか？
• RQ4 この手法は、金融および流体力学における既知の有限次元解を回復または拡張できるか？
• RQ5 どのようなアルゴリズム的手順が、このような解の明示的計算を可能にするか？

主な発見

• 本手法は、金利モデルのヘイズ・ジャロウ・モーガン枠組みに属するSPDEを含む広範なSPDEクラスに対して、有限次元解を効果的に計算可能である。
• 無限ジュートバンドルによる幾何的再定式化は、多様なSPDE応用分野において有限次元解を分析・導出するための統一的言語を提供する。
• アルゴリズムにより、SPDEをジュート空間上の決定的方程式系に還元することで、解の明示的構成が可能になる。
• 確率的流体力学および非線形フィルタリングから得られる新しいSPDEが、この枠組み下で有限次元解を許容することが同定された。
• 本手法は、既存の有限次元SPDEに関する大多数の結果を一般化・包含し、体系的かつ計算可能な手法を提供する。
• 特に非マルコフ型設定において、従来のアプローチでは見えにくいSPDEの隠れた構造を明らかにする。