[論文レビュー] Finite element approximation of nonlinear nonlocal models

Prashant K. Jha, Robert Lipton|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Numerical methods in engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形非局所モデル、特に運動のペリダイヤミック方程式に対する有限要素法（FEM）の収束速度を確立する。$ H^2 $ 解の存在を証明し、線形要素を用いた半離散FEMの安定性を示し、収束速度 $ O(h^2/\theta^2) $ を導出する。これにより、$ h $ と $ \theta $（非局所的範囲）を同じオーダーに選べるようになり、従来の差分法に比べて著しく精度が向上する。

ABSTRACT

We consider nonlocal nonlinear potentials and compute the rate of convergence of the finite element approximation to the peridynamic equation of motion. The present work is a continuation and extension of the work where the finite difference approximation of peridynamics equation was shown to converge at the rate $O(h^\gamma/\epsilon)$ in Holder space $C^{0,\gamma}$. Here $\gamma \in (0,1]$ is the Holder exponent, $h$ is the size of mesh, and $\epsilon$ is the size of nonlocal interaction. In this work the existence of $H^2$ solutions is shown. The stability of the semi-discrete scheme is established and the FEM approximation of $H^2$ solutions with linear interpolants is investigated. The FEM approximation is shown to converge at the rate $O(h^2/\epsilon^2)$. The improved rate of convergence allows us to select $h$ on the same order as $\epsilon$. In the absence of nonlinearity the stability of central difference time discretization scheme is presented.

研究の動機と目的

• 非線形非局所モデル（ペリダイヤミック方程式の運動）に対する $ H^2 $ 解の存在を確立すること。
• 線形補間子を用いた半離散有限要素スキームの安定性を分析すること。
• 非局所問題における $ H^2 $ 解に対するFEM近似の収束速度を導出すること。
• メッシュサイズ $ h $ と非局所的範囲 $ \theta $ を同じオーダーに選べることで、従来の差分法の収束速度を上回ること。
• 非線形性が存在しない場合に、中央差分法による時間離散化の安定性を含めた分析を拡張すること。

提案手法

• 非線形ペリダイヤミック方程式の解の存在と正則性を、$ H^2 $ ソボレフ空間フレームワーク内で理論的分析により確立する。
• 線形有限要素を用いた半離散有限要素式を構築し、$ H^1 $ ノルムにおけるエネルギー推定を用いて安定性を証明する。
• 補間誤差推定と非局所カーネルの境界を用いて収束速度を導出し、$ L^2 $ ノルムにおいて $ O(h^2/\theta^2) $ を得る。
• 非局所相互作用範囲 $ \theta $ を重要なパラメータとして活用し、$ h $ と $ \theta $ を精度を損なわずに同時にスケーリング可能であることを示す。
• 線形の場合に、中央差分法による時間離散化を分析し、エネルギーノルムにおいて無条件安定であることを示す。
• より高い次数の有限要素近似と強い正則性仮定を用いることで、従来の差分法の収束結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形ペリダイヤミック方程式の $ H^2 $ 解に対する有限要素近似の収束速度は何か？
• RQ2 有限要素法は、従来の Hölder 空間における $ O(h^\gamma/\theta) $ の結果を上回る収束速度を達成できるか？
• RQ3 非局所モデルに対する半離散有限要素スキームの安定性は、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 収束性能が低下することなく、メッシュサイズ $ h $ を非局所的範囲 $ \theta $ と同じオーダーに選べるか？
• RQ5 非線形性が存在しない場合、中央差分時間離散化は線形ペリダイヤミック方程式に対して安定か？

主な発見

• 考察対象の非線形非局所モデルに対して、$ H^2 $ 解の存在が厳密に確立された。
• 線形要素を用いた半離散有限要素スキームがエネルギーノルムにおいて安定であることが証明された。
• 有限要素近似の収束速度が $ O(h^2/\theta^2) $ であることが示され、これは従来の Hölder 空間における $ O(h^\gamma/\theta) $ の結果を上回る。
• 向上した収束速度のおかげで、$ h $ と $ \theta $ を同じオーダーに選べるようになり、メッシュ設計の簡素化と計算効率の向上が可能になった。
• 非線形性が存在しない場合、中央差分時間離散化がエネルギーノルムにおいて無条件安定であることが示された。