[論文レビュー] Finite element approximation of power mean curvature flow

Heiko Kröner|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$^{n+1}$におけるパワー平均曲率流れ（PMCF）の近似のための有限要素法を提示する。$C^0$有限要素（次数$\leq 2$）を用いた正則化されたレベルセット式 formulation を採用する。$n=1$の場合、$\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda + c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ の形の収束速度を確立し、正則化パラメータ$\epsilon$およびメッシュサイズ$h$における多項式収束を証明する。

ABSTRACT

In [21] the evolution of hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$ with normal speed equal to a power $k>1$ of the mean curvature is considered and the levelset solution $u$ of the flow is obtained as the $C^0$-limit of a sequence $u^ε$ of smooth functions solving the regularized levelset equations. We prove a rate for this convergence. Then we triangulate the domain by using a tetraeder mesh and consider continuous finite elements, which are polynomials of degree $\le 2$ on each tetraeder of the triangulation. We show in the case $n=1$ (i.e. the evolving hypersurfaces are curves), that there are solutions $u^ε_h$ of the above regularized equations in the finite element sense, and estimate the approximation error between $u^ε_h$ and $u$. Our method can be extended to the case $n>1$, if one uses higher order finite elements.

研究の動機と目的

• パワー平均曲率流れ（PMCF）を近似する数値スキームの開発。PMCFは、法線速度が平均曲率のべき $k>1$ に比例する非線形幾何的発展である。
• 正則化されたレベルセット式を中間ステップとして用い、PMCFのレベルセット解の有限要素近似に対する収束速度の確立。
• 正確な粘性解 $u$、正則化解 $u^\epsilon$、有限要素解 $u_h^\epsilon$ 間の誤差を、特に Hölder ノルムにおいて分析すること。
• 高次元（$n>1$）への拡張を、高次元有限要素を用いて行い、収束速度に対する理論的根拠を提示すること。

提案手法

• PMCFをレベルセット方程式として定式化：$\text{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right) = -|Du|^{-1/k}$ を $\Omega$ で、$\partial\Omega$ で $u=0$ とし、$u$ を粘性解とする。
• 正則化されたレベルセット方程式を導入：$\text{div}\left(\frac{Du^\epsilon}{\sqrt{\epsilon^2 + |Du^\epsilon|^2}}\right) = - (\epsilon^2 + |Du^\epsilon|^2)^{-1/(2k)}$ とし、十分に小さい $\epsilon>0$ に対して滑らかな解 $u^\epsilon$ を保証する。
• 領域を四面体メッシュ $\mathbb{T}_h$ で離散化し、各四面体上で次数 $\leq 2$ の連続 $C^0$ 有限要素を定義する。
• ガレルキン法または弱形式を用いて、有限要素空間内で正則化方程式を解くことにより、有限要素解 $u_h^\epsilon$ を構築する。
• 誤差分解を適用：$\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq \|u - u^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} + \|u^\epsilon - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}}$。第一項は粘性解理論により、第二項は有限要素近似理論により評価する。
• 逆推定、補間誤差バウンド、$L^\mu$ および $H^{1,\mu}$ ノルムにおける安定性推定を用いて有限要素誤差を制御し、$\epsilon$ および $h$ に依存する定数を丁寧に追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n=1$ の場合、$C^{0,\Theta}$ ノルムにおける有限要素近似が粘性解へ収束する速度はいかほどか？
• RQ2 $\epsilon$（正則化パラメータ）と $h$（メッシュサイズ）がどのように作用し、有限要素近似における多項式収束速度をもたらすか？
• RQ3 正確な解 $u$、正則化解 $u^\epsilon$、有限要素解 $u_h^\epsilon$ 間の誤差を、$\epsilon$ および $h$ に明示的な依存関係をもってバウンドすることは可能か？
• RQ4 $n>1$ の高次元に、高次元有限要素を用いて有限要素法を拡張可能か？ その際、多項式収束速度を維持できるか？
• RQ5 固定時間依存のレベルセット式は、曲率項における指数 $k>1$ に起因する非線形性を、空間微分の低次の項に限定することで、解析を簡素化する役割を果たすか？

主な発見

• $n=1$ の場合、任意の $0<\Theta<\frac{1}{2}$ に対して、$\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda + c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ の形の収束速度を確立。$\lambda, \gamma, \delta$ は $\Theta$ および $k$ に依存する正の定数である。
• 粘性解 $u$ と正則化解 $u^\epsilon$ 間の誤差は $\|u - u^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda$ と評価され、$\lambda = \lambda(\Theta,k)$ である。これにより、正則化解が Hölder ノルムで真の解に収束することが証明される。
• 有限要素誤差 $\|u^\epsilon - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}}$ は $c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ でバウンドされ、$h$ が $\epsilon$ に対して適切に選ばれる必要があることが示される。
• 解析は $L^\mu$ および $H^{1,\mu}$ 推定に依拠しており、逆推定および補間誤差バウンドを用いて $h$ および $\epsilon$ に依存する誤差の依存関係を制御する。
• $n>1$ の場合、高次元有限要素への拡張は可能であるが、収束速度の詳細な解析は $n=1$ の場合に限定して行われる。
• 固定時間依存のレベルセット式により、指数 $k>1$ に起因する非線形性が、空間微分の低次の項に限定される。これにより、時間依存レベルセット式と比較して解析が簡素化される。