[論文レビュー] Finite Element Approximation of Transmission Eigenvalues for Anisotropic Media

Bo Gong, Jiguang Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正則フリードホルム作用素関数を用いた固有値問題への再定式化により、異方性媒質における透過固有値を計算するための有限要素法を提示する。ラグランジュ有限要素法とスペクトルインジケータ法を用いて、離散近似の収束を証明し、円形および正方形領域における数値例を通じて2次収束率を確認した。

ABSTRACT

The transmission eigenvalue problem arises from the inverse scattering theory for inhomogeneous media and has important applications in many qualitative methods. The problem is posted as a system of two second order partial differential equations and is essentially nonlinear, non-selfadjoint, and of higher order. It is nontrivial to develop effective numerical methods and the proof of convergence is challenging. In this paper, we formulate the transmission eigenvalue problem for anisotropic media as an eigenvalue problem of a holomorphic Fredholm operator function of index zero. The Lagrange finite elements are used for discretization and the convergence is proved using the abstract approximation theory for holomorphic operator functions. A spectral indicator method is developed to compute the eigenvalues. Numerical examples are presented for validation.

研究の動機と目的

• 既存の収束証明が等方的状況に限られていたことから、異方性媒質における透過固有値問題の収束性を示す有限要素法の開発。
• 逆散乱理論に由来する非線形性および非自己随伴性を有する透過固有値問題の取り扱い方の解決。
• 従来の数値的手法が理論的根拠を欠いていた異方性状況における有限要素近似の厳密な収束解析の提供。
• 複素スペクトル領域における固有値を効率的に計算するためのスペクトルインジケータ法（SIM-H）の設計。
• 異なる異方性材料パラメータを有する円形および正方形領域における数値実験を通じた手法の妥当性の検証。

提案手法

• 異方性媒質における透過固有値問題を、インデックスが0の正則フリードホルム作用素関数の固有値問題に再定式化する。
• 弱形式の空間離散化に標準的なラグランジュ有限要素法を用いる。
• 正則作用素関数の抽象的近似理論を適用し、離散固有値の収束を確立する。
• 指定された複素平面領域内の固有値を計算するためにスペクトルインジケータ法（SIM-H）を実装する。
• 複数のソース問題を繰り返し解くことで、閉曲線積分と射影技術を用いて固有値を特定するSIM-Hの反復的実装。
• 相対誤差と収束順序解析を用いて、数値実験における収束速度の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異方性媒質における透過固有値問題に対して、有限要素法が厳密に収束することを証明できるか？
• RQ2 非線形性および非自己随伴性を有する透過固有値問題を、変分的枠組み内でどのように扱えるか？
• RQ3 異方性透過固有値に対する有限要素近似の収束速度はいかほどか？
• RQ4 非等方的状況における複素固有値を効率的かつ安定して計算できる固有値ソルバーを設計できるか？
• RQ5 計算された固有値は、等方的状況における既知の結果や、異方性媒質に関する既存の文献とどのように一致するか？

主な発見

• メッシュの細分化による数値的検証から、円形および正方形領域において実数および複素数の透過固有値の両方で2次収束が達成された。
• A = I、n = 16 の円形領域において、最小の正の実数透過固有値は h → 0 のとき約 1.9887 に収束し、先行研究と整合的である。
• A = I、n = 16 の正方形領域において、最小の正の実数固有値はメッシュの細分化に伴い約 1.3297 に収束する。
• 絶対値が最小でかつ正の実部を有する複素透過固有値は、円形領域において約 4.9039 + 0.5782i に収束し、文献値と一致する。
• A₁およびA₂を用いた異方性媒質の数値結果から、一貫した固有値が得られた：λ₁ᴿ(D₁) ≈ 4.880 および λ₁ᴿ(D₂) ≈ 3.334 である。
• 本手法は、異方性媒質における透過固有値の有限要素近似に対して、初めての厳密な収束証明を提供する。