[論文レビュー] Finite Element Approximations for Elliptic SPDEs with Additive Gaussian Noises

Yanzhao Cao, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、加法的ガウスノイズを伴う半線形楕円型確率微分方程式（SPDE）に対して、スペクトル的射影を用いてノイズを近似するスペクトル有限要素法を開発する。ラプラシアンと可換である必要がない。正規性と最適な誤差推定が確立され、白色ノイズ駆動問題において1次元では半次の収束速度の向上、高次元では無限小の向上が示された。

ABSTRACT

The paper studies the well-posedness and optimal error estimates of spectral finite element approximations for the boundary value problems of semi-linear elliptic SPDEs driven by white or colored Gaussian noises. The noise term is approximated through the spectral projection of the covariance operator, which is not required to be commutative with the Laplacian operator. Through the convergence analysis of SPDEs with the noise terms replaced by the projected noises, the well-posedness of the SPDE is established under certain covariance operator-dependent conditions. These SPDEs with projected noises are then numerically approximated with the finite element method. A general error estimate framework is established for the finite element approximations. Based on this framework, optimal error estimates of finite element approximations for elliptic SPDEs driven by power-law noises are obtained. It is shown that with the proposed approach, convergence order of white noise driven SPDEs is improved by half for one-dimensional problems, and by an infinitesimal factor for higher-dimensional problems.

研究の動機と目的

• 白色または色付きガウスノイズによって駆動される半線形楕円型SPDEの適切な定式化を確立すること。
• ラプラシアンと可換でないノイズ共分散演算子を有するSPDEのための有限要素法を開発すること。
• このようなSPDEの有限要素近似のための一般化された誤差推定フレームワークを導出すること。
• パワー則ノイズによって駆動されるSPDEの最適収束速度を求める。
• 特に低次元および高次元において、白色ノイズ駆動SPDEの収束次数を向上させること。

提案手法

• 共分散演算子のスペクトル的射影によりノイズ項を近似し、ラプラシアンと可換である必要がない解析を可能にする。
• 共分散演算子に依存する条件下で、射影されたノイズ項を有するSPDEの収束を分析し、適切な定式化を確立する。
• 射影されたSPDEを数値的に解くために有限要素法を適用し、収束保証を実現する。
• 加法的ガウスノイズを伴う広範なクラスの楕円型SPDEに適用可能な一般化された誤差推定フレームワークを開発する。
• ノイズのスペクトル構造と解の正則性を活用して最適誤差推定を導出する。
• 関数解析的手法と確率的ガラーキン形式を用いて安定性と収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズがスペクトル的に射影された場合、共分散演算子のどのような条件下でSPDEが適切に定式化されるか。
• RQ2 スペクトル射影の選択が、有限要素近似の収束行動にどのように影響するか。
• RQ3 パワー則ノイズによって駆動される楕円型SPDEの有限要素近似で達成可能な最適収束速度は何か。
• RQ4 白色ノイズ駆動SPDEの収束次数を向上させることは可能か。もし可能であれば、どの程度向上するか。
• RQ5 問題の次元が、提案手法による収束利得にどのように影響するか。

主な発見

• SPDEの適切な定式化は、共分散演算子のスペクトル的性質に依存する条件下で確立された。
• パワー則ノイズによって駆動される楕円型SPDEに対して、有限要素法は最適誤差推定を達成する。
• 1次元の白色ノイズ駆動SPDEでは、標準的手法と比較して収束次数が半次の向上を示した。
• 高次元問題では、スペクトル的射影アプローチのおかげで収束次数が無限小の要因で向上した。
• 共分散演算子がラプラシアンと可換でない場合でも、本手法は有効であり、適用範囲が広がった。
• 一般化された誤差推定フレームワークは、加法的ノイズを伴う多様な楕円型SPDEの有限要素近似分析に強固な基盤を提供する。