[論文レビュー] Finite Element Error Estimates for Optimal Control Problems with Pointwise Tracking

Niklas Behringer, Dominik Meidner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、目的関数に点追跡を含む線形二次楕円型最適制御問題の有限要素離散化に対する、改良された事前誤差推定を提示する。3つの制御離散化手法（変分的、セル単位定数、後処理）に対して、最適収束率（対数項を含む）を達成し、特に2次元では $\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$ の収束を明示的に証明する。これは従来の結果を顕著に改善する。

ABSTRACT

We consider a linear-quadratic elliptic optimal control problem with point evaluations of the state variable in the cost functional. The state variable is discretized by conforming linear finite elements. For control discretization, three different approaches are considered. The main goal of the paper is to significantly improve known a priori discretization error estimates for this problem. We prove optimal error estimates for cellwise constant control discretizations in two and three space dimensions. Further, in two space dimensions, optimal error estimates for variational discretization and for the post-processing approach are derived.

研究の動機と目的

• 目的関数に点追跡を含む最適制御問題に対する鋭い事前誤差推定の欠如に対処すること。
• 特に3次元において劣化していた既存の誤差推定を改善すること。
• 変分的、セル単位定数、および後処理の3つの制御離散化戦略に対する最適収束率を確立すること。
• 点追跡制約下での最適制御および随伴状態の正則性を分析すること。
• 理論的結果を数値実験で検証し、2次元での収束率を確認するとともに、3次元への拡張可能性を示唆すること。

提案手法

• 準均一メッシュ上での一致線形有限要素を用いた状態方程式の離散化。
• 3つの異なる制御離散化アプローチ：変分的（暗黙的）、セル単位定数（明示的）、および離散随伴の射影による後処理。
• 目的関数に点評価を含むための、重み付き $L^2$-ノルム推定と補間誤差バウンドの適用。
• 誤差の制御変数におけるバウンドを求めるために、後処理誤差推定技術と補助方程式の使用。
• 射影作用素 $P_{[a,b]}$ のリプシッツ連続性を活用し、随伴状態の誤差と制御の誤差を関連付ける。
• 最適制御が活性または非活性となる領域に領域を分割し、局所的正則性を活用して誤差バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 目的関数に点追跡を含む最適制御問題の有限要素離散化において、最適収束率を達成できるか？
• RQ2 3次元におけるセル単位定数制御離散化の最適収束率は何か？ また、$\mathcal{O}(h^{1/2}|\ln h|^2)$ よりも改善可能か？
• RQ3 後処理アプローチは、2次元において変分的離散化と同一の収束率を達成するか？
• RQ4 一般の準均一メッシュを用いた3次元問題へ、理論的収束率を拡張可能か？
• RQ5 グレーデッドメッシュを用いることで、3次元において2次収束（対数項を含む）が達成可能か？

主な発見

• 2次元問題において、変分的離散化およびセル単位定数制御の後処理に対して、$\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$ の最適誤差推定を証明した。
• 3次元において、セル単位定数制御離散化の既知の誤差推定を $\mathcal{O}(h^{1/2}|\ln h|^2)$ から $\mathcal{O}(h|\ln h|)$ に改善し、現在の仮定下で最適であることを示した。
• 2次元問題において、後処理アプローチが変分的離散化と同一の収束率 $\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$ を達成することを確認し、その最適性を裏付けた。
• 数値結果により、2次元におけるセル単位定数制御および後処理制御の理論的収束率が確認された。
• 3次元においては、$\mathcal{O}(h^2|\ln h|^2)$ の理論的証明は与えられていないが、数値実験からその収束率が成立する可能性があることが示唆され、今後の研究の方向性を示した。
• 本稿は、ボックス制約の存在により最適制御がリプシッツ連続のままであることを示したが、随伴状態はSobolev正則性が限定的であるにもかかわらず。