[論文レビュー] Finite Element Exterior Calculus for Evolution Problems

Andrew Gillette, Michael Holst+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、時間パrameter化されたボホナー空間におけるヒルベルト複体理論と半離散ガレルキン有限要素法を組み合わせることで、有限要素外微分計算（FEEC）フレームワークを放物型および双曲型時間発展問題へ拡張する。自然なパrameter化されたヒルベルトノルムにおける最適な事前誤差推定を確立し、トーマーとジエベチの古典的結果を任意の空間次元および混合有限要素族に一般化するとともに、ホルスト＝スターンの枠組みを用いて半線形時間発展系へ拡張する。

ABSTRACT

Arnold, Falk, and Winther [Bull. Amer. Math. Soc. 47 (2010), 281--354] showed that mixed variational problems, and their numerical approximation by mixed methods, could be most completely understood using the ideas and tools of Hilbert complexes. This led to the development of the Finite Element Exterior Calculus (FEEC) for a large class of linear elliptic problems. More recently, Holst and Stern [Found. Comp. Math. 12:3 (2012), 263--293 and 363--387] extended the FEEC framework to semi-linear problems, and to problems containing variational crimes, allowing for the analysis and numerical approximation of linear and nonlinear geometric elliptic partial differential equations on Riemannian manifolds of arbitrary spatial dimension, generalizing surface finite element approximation theory. In this article, we develop another distinct extension to the FEEC, namely to parabolic and hyperbolic evolution systems, allowing for the treatment of geometric and other evolution problems. Our approach is to combine the recent work on the FEEC for elliptic problems with a classical approach to solving evolution problems via semi-discrete finite element methods, by viewing solutions to the evolution problem as lying in time-parameterized Hilbert spaces (or Bochner spaces). Building on classical approaches by Thomee for parabolic problems and Geveci for hyperbolic problems, we establish a priori error estimates for Galerkin FEM approximation in the natural parametrized Hilbert space norms. In particular, we recover the results of Thomee and Geveci for two-dimensional domains and lowest-order mixed methods as special cases, effectively extending their results to arbitrary spatial dimension and to an entire family of mixed methods. We also show how the Holst and Stern framework allows for extensions of these results to certain semi-linear evolution problems.

研究の動機と目的

• 有限要素外微分計算（FEEC）フレームワークを楕円型から放物型および双曲型時間発展問題へ拡張すること。
• トーマー（放物型）およびジエベチ（双曲型）の古典的事前誤差推定を、任意の空間次元および混合有限要素法へ一般化すること。
• 変分的犯罪および半線形項をFEECフレームワークに組み込み、ホルストとスターンの先行研究に基づく時間発展系の解析を進める。
• ヒルベルト複体およびde Rham複体の構造を用いて、時間パrameter化されたボホナー空間における誤差推定を確立すること。
• FEECフレームワークがリーマン多様体上での幾何学的および非線形時間発展問題における安定性と収束性を保証することを示すこと。

提案手法

• 時間発展PDEにFEECツールを適用可能にするために、時間パrameter化されたヒルベルト空間（ボホナー空間）として時間依存PDEを定式化する。
• 混合変分形式の時間発展系に、ヒルベルト複体およびde Rham複体を用いてFEECフレームワークを適用する。
• 時間連続性を保ちながら空間にのみ離散化する半離散ガレルキン有限要素法を用いる。
• ホルストとスターンの抽象的誤差推定を、パrameter化されたノルムおよび時間依存射影を用いて時間発展問題に適応する。
• ホルストとスターン[21]の抽象的誤差推定（A.1）を借用・拡張し、k=nの場合に簡略化し、調和形式を排除する。
• 有限要素射影π_h^kの最適近似性質を用いて、誤差項を正確な解のソボレフノルムの項で上界評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト複体理論を用いて、FEECフレームワークを放物型および双曲型時間発展問題へ拡張可能か？
• RQ2 トーマーとジエベチの古典的事前誤差推定は、任意の空間次元および高次混合有限要素法へ一般化可能か？
• RQ3 FEECフレームワークは、時間発展問題における変分的犯罪および半線形項を扱えるか？
• RQ4 de Rham複体およびボホナー空間の構造は、時間依存混合有限要素法の誤差推定導出において果たす役割は何か？
• RQ5 抽象的誤差推定における係数η, δ, μは、時間発展問題における収束速度にどのように影響するか？

主な発見

• 本論文は、ボホナー空間ノルムにおける放物型および双曲型時間発展問題のガレルキンFEM近似に対して最適な事前誤差推定を確立する。
• L²ノルムにおける解uの誤差推定は、c(E(u) + ηE(σ) + (δ+μ)E(dσ) + μE(P_B u))で上界が与えられ、E(w)はW-normにおける最良近似誤差を表す。
• de Rham複体におけるk=nの場合、調和形式および完全形式を排除することで、||u - ũ_h||_L² ≤ c(E(u) + ηE(σ) + (δ+μ)E(dσ) + μE(P_B u))に簡略化される。
• 収束率は、s ≤ r+1のときO(h^{s+2})であることが示され、ここでsはソボレフ正則性、rは有限要素空間の多項式次数である。
• 係数η=O(h), δ=O(h^{min(2,r+1)}), μ=O(h^{r+1})は、de Rham文脈における抽象的作用素ノルムから導出される。
• 結果は、2次元領域および最低次混合有限要素法のケースにおいて、トーマーとジエベチの推定を回復・一般化する特殊ケースである。