[論文レビュー] Finite element formulation of general boundary conditions for incompressible flows

Roland Becker, Daniela Capatina+2 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Nitscheの手法を用いて、非圧縮性流れにおける一般化された境界条件を、粘性（ナビエ＝ストークス）および非粘性（オイラー）の両 regime にわたって統一的な弱形式で取り扱う有限要素法の定式化を提示する。フラックスヤコビアンのバランスの取れたスペクトル分解と、一貫した運動エネルギー安定化項を導入することにより、粘性度のすべてのレベル、特に双曲型極限においても安定性と一貫性が保証される。数値実験では、境界層や再entrantコーナーにおける振動を抑える強制法よりも優れた安定性とスケーリング不変性を達成し、複雑な流れの特徴を歪みなく捉えることが可能である。

ABSTRACT

We study the finite element formulation of general boundary conditions for incompressible flow problems. Distinguishing between the contributions from the inviscid and viscid parts of the equations, we use Nitsche's method to develop a discrete weighted weak formulation valid for all values of the viscosity parameter, including the limit case of the Euler equations. In order to control the discrete kinetic energy, additional consistent terms are introduced. We treat the limit case as a (degenerate) system of hyperbolic equations, using a balanced spectral decomposition of the flux Jacobian matrix, in analogy with compressible flows. Then, following the theory of Friedrich's systems, the natural characteristic boundary condition is generalized to the considered physical boundary conditions. Several numerical experiments, including standard benchmarks for viscous flows as well as inviscid flows are presented.

研究の動機と目的

• 粘性度のすべてのレベル、特に非粘性オイラー極限を含む非圧縮性流れにおける一般境界条件を、安定かつ一貫性を保つ統一的有限要素定式化を開発すること。
• 標準的手法が失敗する高Péclet数および双曲型領域における離散的運動エネルギーの制御という課題に取り組むこと。
• フラックスヤコビアンのバランスの取れたスペクトル分解を用いて、圧縮性流体理論に類似した形で非圧縮性流れにおける特徴的境界条件を一般化すること。
• 特にジェット衝突や後退ステップのような複雑な流れに対して、数値シミュレーションにおけるロバストネスとスケーリング不変性を確保すること。
• Nitscheの手法による弱強制と強強制を比較し、境界層や再entrantコーナーにおいて優れた安定性と振動の低減を示すこと。

提案手法

• 定式化は、非粘性（オイラー）と粘性（ストークス）の寄与を区別し、μ = 0 を含むすべての粘性度においてNitscheの手法を用いて境界条件を弱く強制する。
• フラックスヤコビアン行列のバランスの取れたスペクトル分解を用いて境界行列Bを定義し、退化した双曲型極限において内部方程式と次元的に整合性を持つようにする。
• 離散的運動エネルギーを制御するための追加的一致した安定化項を導入し、数値解における物理的に不自然なエネルギー増大を防ぐ。
• ストークス流れの弱形式と、ヤコビアン固有値の絶対値に基づく一貫した安定化項を組み合わせることで、ナビエ＝ストークス方程式へ拡張する。
• 連続有限要素を用いて定式化を実装し、空間離散化に焦点を当て、SUPG安定化を用いた強強制バージョンと比較する。
• スケーリング不変性のテストとして、適切に変換された境界データを用いてスケーリングされた領域におけるジェット衝突問題を解き、幾何的および物理的スケーリング下でも解の不変性が保たれることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、粘性および非粘性非圧縮性流れ（オイラー極限を含む）の両方において、安定かつ一貫性を保つ単一の有限要素定式化を構築できるか？
• RQ2 高Péclet数または双曲型特性を示す非圧縮性流れにおいて、離散的エネルギー境界を維持するうえで運動エネルギー安定化の役割は何か？
• RQ3 フラックスヤコビアンのバランスの取れたスペクトル分解を用いることで、非圧縮性流れにおける特徴的境界条件をどのように自然に一般化できるか？
• RQ4 Nitscheの手法による弱強制は、渦や境界層不安定性といった複雑な流れ特徴を捉えるうえで、強強制に比べてどのような数値的利点を有するか？
• RQ5 提案手法は、特にジェット衝突のようなベンチマーク問題において、離散解のスケーリング不変性をどの程度保持するか？

主な発見

• Nitscheに基づく弱形式は、非粘性オイラー極限を含むすべての粘性度において、一貫性や安定性の損失なしに適切に処理できる。
• 一貫した運動エネルギー安定化項の追加により、特に高Péclet数および双曲型領域において物理的に不自然なエネルギー増大が効果的に抑制される。
• 後退ステップおよびジェット衝突問題に対する数値実験では、弱強制定式化が強強制よりも不自然な振動が少なく、特に再entrantコーナーや壁付近で顕著に改善されている。
• 本手法はスケーリング不変性を達成する：ドメインおよび境界データを適切にスケーリングした場合、離散解は機械精度の範囲で不変のままである。これに対して、代替の強強制法ではその性質が保たれない。
• ジェット衝突問題における圧力等高線と速度大きさプロファイルから、弱形式が振動を境界付近に局在化させることを確認した。一方、強形式では不自然な振動が領域内に広がっている。
• フラックスヤコビアンのスペクトル分解により、非圧縮性流れにおける特徴的境界条件の物理的に意味のある一般化が可能となり、一次系に対するFriedrichの理論と整合する。