[論文レビュー] Finite Element Solution of the Two-Dimensional Bates Model for Option Pricing Under Stochastic Volatility and Jumps

Neda Bagheri Renani, Sevcovic, Daniel|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2026

Stochastic processes and financial applications被引用数 0

ひとこと要約

要約：論文は変換された Bates PIDE に対して第四階のコンパクト有限差分法（HOC-FD）スキームを開発し、IMEX-CN 時間離散化とジャンプ積分の Simpson 積分を用いて、二次の FD および二次 FEM と比較して精度は同程度ながら効率が優れていることを実証する。

ABSTRACT

We propose a fourth--order compact finite--difference (HOC--FD) scheme for the transformed Bates partial integro--differential equation (PIDE). The method employs an implicit--explicit (IMEX) Crank--Nicolson framework for local terms and Simpson quadrature for the jump integral. Benchmarks against second--order finite differences (FD) and quadratic finite elements (FEM, p=2) confirm near--fourth--order spatial accuracy for HOC--FD, near--second--order for FEM, and second--order temporal convergence for all time integrators. Efficiency tests show that HOC--FD achieves similar accuracy at up to two orders of magnitude lower runtime than FEM, establishing it as a practical baseline for option pricing under stochastic volatility jump--diffusion models.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティとジャンプを伴う Bates モデルの正確な数値価格付けを動機づける。
• 変換された Bates PIDE に対する高次のコンパクト有限差分スキームを開発する。
• 標準的な二次 FD および二次 FEM と比べた精度と効率を評価する。
• HOC-FD がほぼ四次の空間精度を競争力のある計算コストで達成することを示す。

提案手法

• Bates PIDE を数値計算に適した後向き時間・正規化形に変換する。
• 3×3ストencil 上の局所微分作用素に対し第四階のコンパクト離散化を適用する。
• 局所作用素を隐含、非局所のジャンプ積分を IMEX–Crank–Nicolson 系で明示的に扱う。
• 非局所ジャンプ項を切り捨て区間上で Simpson 求積で近似する。
• HOC-FD を二次の FD および FEM（P2）と、精度（L2 と RMSE）および効率（DOF、CPU時間）の観点で比較する。

Figure 1: European put price $V(S,t)$ under the Bates model for $S\in[70,130]$ . The intrinsic payoff $\max(K-S,0)$ and the no-arbitrage lower bound $\max\{Ke^{-rT}-S,0\}$ are shown as reference curves

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造格子上で Bates PIDE を解く際に第四階のコンパクト有限差分スキームは正確か。
• RQ2 HOC-FD は空間/時間の精度と計算コストの点で標準的な二次 FD および FEM(P2) とどのように比較されるか。
• RQ3 IMEX–Crank–Nicolson アプローチをジャンプの明示的処理と組み合わせた安定性と効率は Bates 型モデルに適しているか。
• RQ4 ジャンプを伴う確率的ボラティリティ下での欧式オプション価格付けにおける FEM(P2) 対 HOC-FD の効率向上はどれほどか。

主な発見

• HOC-FD は空間でほぼ四次の精度を達成し、FEM は空間でほぼ二次の精度を得る。
• すべての時間積分はほぼ二次の時間収束を示す。
• HOC-FD は顕著な効率向上を提供し、同等の精度時には FEM(P2) より実行時間がしばしば二桁以上高速である。
• 二次の FD と比較して、HOC-FD およびその同業は構造化格子上でのコスト-精度バランスが顕著に優れている。