[論文レビュー] Finite elements for div and divdiv conforming symmetric tensors in arbitrary dimension

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Elasticity and Material Modeling被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双対空間アプローチを用いて任意次元における対称テンソルの div および divdiv に適合する有限要素を構築する。形状関数をトレース、バブル、直交補空間に分解し、多項式複体とコシュール作用素を用いて双対空間を特徴付けることで、弾性論および4次元問題における混合法に対して安定かつ適合する要素を構築する。

ABSTRACT

Several div-conforming and divdiv-conforming finite elements for symmetric tensors on simplexes in arbitrary dimension are constructed in this work. The shape function space is first split as the trace space and the bubble space. The later is further decomposed into the null space of the differential operator and its orthogonal complement. Instead of characterization of these subspaces of the shape function space, characterization of the dual spaces are provided. Vector div-conforming finite elements are firstly constructed as an introductory example. Then new symmetric div-conforming finite elements are constructed. The dual subspaces are then used as build blocks to construct divdiv conforming finite elements.

研究の動機と目的

• 任意次元における対称テンソルのための安定的かつ適合する有限要素法を開発すること。
• 低次元を超えた div および divdiv に適合する要素の体系的構築の欠如に対処すること。
• 既存のラヴィアルト＝トーマスおよび BDM 型要素を対称テンソル値関数へ一般化すること。
• 複雑なトレース空間解析を回避する双対空間特徴付けに基づく統一的枠組みを提供すること。
• 弾性論および4次元問題における混合式に対して最適収束性と inf-sup 穩定性を保証すること。

提案手法

• 微分作用素を用いて形状関数空間をトレース空間、バブル空間、およびその直交補空間に分解する。
• グリーンの公式と多項式複体を用いて双対空間を特徴付け、特にコシュール作用素の核に注目する。
• 双対アプローチを用いて、特定の多項式部分空間、特に $\mathcal{N}(\ker(\cdot\mathbf{x}) \cap \mathbb{P}_{k-2}(K;\mathbb{S}))$ との内積として自由度を定義する。
• まずベクトル値ラヴィアルト＝トーマスおよび BDM 型空間を用いて div に適合する要素を構築し、次に対称テンソル値関数への拡張を行う。
• 追加して $\mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbb{H}_{k-1}(K)$ を $\mathbb{P}_k(K;\mathbb{S})$ に加えることで $\mathbb{P}_k^{-}(\mathbb{S})$-型要素を構成する。
• 点値、法線成分のトレース、接線成分のトレース、および変位および対称勾配作用素に対するモーメントに基づく自由度を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意次元における対称テンソルの div に適合する有限要素を体系的にどのように構築できるか？
• RQ2 混合法における法線フラックスおよび発散の連続性を保証する自由度を定義する安定的で一般化可能なアプローチは何か？
• RQ3 コシュール作用素による双対空間特徴付けは、適合有限要素を構築する際、複雑なトレース空間解析を置き換えられるか？
• RQ4 $H(\operatorname{div}\operatorname{div})$-適合性および最適近似を保証する対称テンソル値 divdiv に適合する要素をどのように構築できるか？
• RQ5 提案された divdiv に適合する要素は、混合式に対してどのような inf-sup 条件を満たすか？

主な発見

• 双対アプローチにより、部分空間の明示的特徴付けを回避してバブル関数空間の双対空間を一般かつ簡便に特徴付けられる。
• 対称テンソル値 $H(\operatorname{div};\mathbb{S})$-適合要素の構築は、$\mathcal{N}(\ker(\cdot\mathbf{x}) \cap \mathbb{P}_{k-2}(K;\mathbb{S}))$ の核部分に対して自由度を基に達成される。
• 対称テンソル値 $H(\operatorname{div}\operatorname{div};\mathbb{S})$-適合要素では、形状関数空間が $\mathbb{P}_k(K;\mathbb{S}) \oplus \mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbb{H}_{k-1}(K)$ で、$k \geq \max\{d,3\}$ である。
• 自由度には頂点における点値、面上の法線-法線トレース、接線成分のトレース、および変位および対称勾配作用素に対するモーメントが含まれる。
• 得られた有限要素空間は $H(\operatorname{div}\operatorname{div};\Omega;\mathbb{S})$-適合であることが証明され、法線フラックスおよび発散トレースの連続性が保証される。
• 両方の $\boldsymbol{V}_h(\operatorname{div}\operatorname{div})$ および $\boldsymbol{V}_h^{-}(\operatorname{div}\operatorname{div})$ 空間に対して inf-sup 穏定性が確立され、$p_h \in \mathbb{P}_{k-2}(\mathcal{T}_h)$ および $\mathbb{P}_{k-1}(\mathcal{T}_h)$ に対して $\|p_h\|_0 \lesssim \sup_{\boldsymbol{\tau}_h} \frac{(\operatorname{div}\operatorname{div}\boldsymbol{\tau}_h, p_h)}{\|\boldsymbol{\tau}_h\|_0 + \|\operatorname{div}\operatorname{div}\boldsymbol{\tau}_h\|_0}$ が成り立つ。