[論文レビュー] Finite elements for divdiv-conforming symmetric tensors

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Elasticity and Material Modeling参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、三角形メッシュ上の対称テンソルに対する div-div 演算子に適合する混合有限要素空間を構築し、法線-法線連続性に加え、応力の導関数を含むトレース連続性を保証する。多項式複体、有限要素複体、ヒルベルト複体を含む可換図式を確立し、双調和方程式における最適な誤差推定と超収束を可能にする。回転を用いて rot-rot 適合ひずみ要素への応用も拡張される。

ABSTRACT

Two types of finite element spaces on triangles are constructed for div-div conforming symmetric tensors. Besides the normal-normal continuity, the stress tensor is continuous at vertices and another trace involving combination of derivatives of stress is identified. Polynomial complex, finite element complex, and Hilbert complex are presented and a commuting diagram between them is given. The constructed div-div conforming elements are exploited to discretize the mixed formulation of the biharmonic equation. Optimal order and superconvergence error analysis is provided. By rotation, finite elements for rot-rot conforming symmetric strain are also obtained.

研究の動機と目的

• 三角形メッシュ上での対称応力テンソルに対する div-div 演算子に適合する有限要素空間を開発すること。
• 応力テンソルの法線-法線成分だけでなく、頂点および応力の導関数を含むトレース連続性を保証すること。
• 可換図式を伴う多項式複体、有限要素複体、ヒルベルト複体を確立し、有限要素法を支援すること。
• 構築された要素を、最適収束および超収束解析を伴う双調和方程式の混合弱形式に適用すること。
• 回転を用いて、rot-rot 適合対称ひずみ要素へのフレームワークの拡張を行うこと。

提案手法

• 頂点、辺上の法線-法線モーメント、および応力の導出の組み合わせを含むトレースを用いて、三角形上での div-div 適合対称テンソルのための2種類の有限要素空間を構築する。
• 局所的自由度として、頂点における点値、辺上の法線-法線成分の $ L^2 $-射影、および接線方向微分と発散を組み合わせたトレース関数を定義する。
• 微分作用素の構造を離散化で保つために、ヒルベルト複体、多項式複体、有限要素複体の間の可換図式を導入する。
• ハイブリッド化された混合法を用いて、構築された有限要素を双調和方程式の混合弱形式に離散化する。
• 回転を適用して、div-div 適合応力要素を rot-rot 適合ひずみ要素に変換し、関連問題への応用を拡張する。
• 実装に際し、$ \ell = k $ の場合に標準ラグランジュ有限要素基底を用い、テンソル的アナログとしての標準的自由度に類する簡略化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、三角形メッシュ上での div-div 演算子に適合する対称テンソルのための有限要素空間を構築できるか？
• RQ2 法線-法線連続性を超えて、div-div 適合対称テンソルに必要な十分な追加連続性条件は何か？
• RQ3 対称テンソルの有限要素空間に対して、完全なヒルベルト複体と可換図式を確立できるか？
• RQ4 これらの要素を双調和方程式の混合弱形式に適用した際、得られる誤差推定と収束率は何か？
• RQ5 回転を用いて、rot-rot 適合対称ひずみ要素にこのフレームワークをどのように拡張できるか？

主な発見

• 構築された有限要素空間は、双調和方程式の混合弱形式に対して最適次数の収束を達成する。
• 離散解に対して超収束が確立され、最適次数を上回る収束速度が示される。
• 自由度には頂点値、辺上の法線-法線モーメント、および接線方向微分と発散を含むトレース関数が含まれ、一意性が保証される。
• ヒルベルト複体、多項式複体、有限要素複体の間で可換図式が構築され、微分作用素の構造が保存される。
• $ \ell = k $ の場合、自由度は標準ラグランジュ要素のテンソル版に簡略化され、標準基底関数を用いた効率的な実装が可能になる。
• 回転を用いて、rot-rot 適合対称ひずみ要素への拡張がなされ、関連問題への応用範囲が広がる。