[論文レビュー] Finite Elements with Switch Detection for Direct Optimal Control of Nonsmooth Systems

Armin Nurkanović, Mario Sperl+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2022

Numerical methods for differential equations被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、右辺が不連続な非滑らかODEの直接的最適制御のための高次数数値法である有限要素法スイッチ検出（FESD）を提案する。FESDは、ルンゲ＝クッタ時間積分法と非線形補完性問題、およびクロス補完性条件を統合し、時間的スイッチを検出することで、最適の次数の精度と正確な数値感度を得る。計算コストが同一の場合、標準的な時間刻み法に比べて最大5桁の精度向上を実証した。

ABSTRACT

This paper introduces Finite Elements with Switch Detection (FESD), a numerical discretization method for nonsmooth differential equations. We consider the Filippov convexification of these systems and a transformation into dynamic complementarity systems introduced by [Stewart, 1990]. FESD is based on solving nonlinear complementarity problems and can automatically detect nonsmooth events in time. If standard time-stepping Runge-Kutta (RK) methods are naively applied to a nonsmooth ODE, the accuracy is at best of order one. In FESD, we let the integrator step size be a degree of freedom. Additional complementarity conditions, which we call cross complementarities, enable exact switch detection, hence FESD can recover the high order accuracy that the RK methods enjoy for smooth ODE. Additional conditions called step equilibration allow the step size to change only when switches occur and thus avoid spurious degrees of freedom. Convergence results for the FESD method are derived, local uniqueness of the solution and convergence of numerical sensitivities are proven. The efficacy of FESD is demonstrated in several simulation and optimal control examples. In an optimal control problem benchmark with FESD, we achieve up to five orders of magnitude more accurate solutions than a standard time-stepping approach for the same computational time.

研究の動機と目的

• 右辺が不連続な非滑らかODEに標準的な時間刻み法を適用した場合に生じる精度および感度の問題を解決すること。
• スイッチング系やハイブリッド系の直接的最適制御を可能にするために、高次数の精度と正しい数値感度を保証すること。
• 事前にスイッチングシーケンスを知らなくても、複数または同時に発生するスイッチやスライディングモードを検出できる統一的な枠組みを開発すること。
• 非滑らかイベントが存在する状況でも解の収束性および局所的一意性を、厳密な理論的分析を通じて保証すること。
• 最適制御における「まず離散化してから最適化する」手法と互換性があり、実装可能で安定した手法を提供すること。

提案手法

• スティーブンソン変換を用いて非滑らかODEを動的補完性系に定式化し、補完性に基づくスイッチ検出を可能にする。
• 離散レベルでの正確なスイッチ検出を実現するため、クロス補完性条件を導入し、元のルンゲ＝クッタ法の次数の精度を保持する。
• 最適化問題における時間刻み幅を意思決定変数として扱い、適応的刻み幅制御を可能にする。
• ステップ等化条件を適用して、刻み幅の変更をスイッチイベントに限定し、不必要な自由度を排除する。
• 結果として得られる補完性制約を伴う数学的計画問題（MPCC）を、ホモトピー法（弾性モードおよび緩和ホモトピーを含む）を用いて解き、安定性を確保する。
• フィリッポフの凸化を用いて不連続ベクトル場の解を定義し、適切な条件下で存在性および一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な時間刻み法が1次精度に制限される中で、直接的最適制御法が非滑らかODEに対して高次数の精度を達成できるか？
• RQ2 直接的マルチショーティングフレームワークを用いて、状態ジャンプやスライディングモードを伴う非滑らか系の正確な数値感度を計算できるか？
• RQ3 FESD法が、スイッチング時刻やシーケンスを事前に知らずに正確にスイッチを検出できるか？
• RQ4 複数または同時に発生するスイッチやスライディングモード弧を扱いながら、高次数収束性を維持できるか？
• RQ5 CPU時間あたりの精度という観点で、FESDは標準的な時間刻み法に比べて計算効率に優れているか？

主な発見

• FESDは、最適制御ベンチマークにおいて、計算時間が同一の場合、標準的な時間刻み法に比べ最大5桁の精度向上を達成した。
• Radau-IIAおよびLobatto-IIICバージョンのFESDが最も効率的であり、Gauss-Legendre法や陽的ルンゲ＝クッタ法は、スライディングモードに起因するインデックス2 DAEにおいて高次数の精度を失う。
• FESDはスイッチを正確に検出することで、標準的手法が直面する非リプシッツ的感度問題を回避し、正確な数値感度を保証する。
• FESD法の収束性が証明され、補完性問題に関する標準的仮定の下で解の局所的一意性が確立された。
• 本手法は、スライディングモードや複数のスイッチを含む複雑なダイナミクスを効果的に処理でき、多様なテストケースにおいて安定した性能を示した。
• FESDの実装は、状態ジャンプや非滑らか力学を含む例も備えたオープンソースのNOSNOCツールボックスで公開されている。