[論文レビュー] Finite F-type and F-abundant modules

Hailong Dao, Tony Se|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正の素数標数をもつ可換ネーター環上の2つの新しいモジュールクラス、有限F型モジュールおよびF豊富モジュールを導入し、それらを研究する。フロベニウス関手と反射的ハルを用いて、特定の条件下で、M が有限F型で N が F豊富であるとき、Hom_R(M,N) が最大コhen-マカウレーであることを証明する。これは、F正則特異点およびF寄与モジュールのコhen-マカウレー性に関する既知の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this note we introduce and study basic properties of two types of modules over a commutative noetherian ring $R$ of positive prime characteristic. The first is the category of modules of finite $F$-type. These objects include reflexive ideals representing torsion elements in the divisor class group of $R$. The second class is what we call $F$-abundant modules. These include, for example, the ring $R$ itself and the canonical module when $R$ has positive splitting dimension. We prove various facts about these two categories and how they are related, for example that $\mathrm{Hom}_R(M,N)$ is maximal Cohen-Macaulay when $M$ is of finite $F$-type and $N$ is $F$-abundant, plus some extra (but necessary) conditions. Our methods allow us to extend previous results by Patakfalvi-Schwede, Yao and Watanabe. They also afford a deeper understanding of these objects, including complete classifications in many cases of interest, such as complete intersections and invariant subrings.

研究の動機と目的

• 正標数環におけるフロベニウス関手を用いて、2つの新しいモジュールクラス—有限F型およびF豊富モジュール—を定義し、それらを研究すること。
• パタクファルヴィ＝シュウェーデ、ヨウ、渡辺らの定理を拡張することで、既知のF正則特異点および除法類のコhen-マカウレー性に関する結果を一般化すること。
• 完全交差環や不変部分環といった重要な場合において、有限F型およびF豊富モジュールの完全分類を提供すること。
• M が有限F型で N が F豊富であるとき、Hom_R(M,N) が最大コhen-マカウレーであるような条件を確立すること。
• 除法類群および分割次元の文脈において、反射的モジュールとそのフロベニウス引き戻しの挙動の理解を深めること。

提案手法

• 反射的ハルのフロベニウス引き戻しの族が有限生成加法的カテゴリに属するようなモジュールを、有限F型モジュールと定義する。
• フロベニウス巾の分割に関する漸近的条件を用いてF豊富モジュールを導入する：liminf_{e→∞} p^{eα(R)} / b_e = 0（b_e は自由部分モジュールの最大多重度）。
• F^e(M) = M ⊗_R {}^e R およびその反射的ハル M(e) = F^e_R(M)** を用いて、フロベニウス反復におけるモジュール安定性を分析する。
• Serreの(S_k)条件および局所コホモロジーを用いて、Homモジュールの深さおよびコhen-マカウレー性を分析する。
• 正規モジュール ω_R と双対性 M^∨ = Hom_R(M, ω_R) を用いて、F豊富モジュールの文脈における反射的性と双対性の関係を確立する。
• 射影的代数的多様体および層コホモロジーを用いた幾何的解釈により、モジュール論的性質をProj(A)およびSpec(R)\{m}上のベクトルバンドルに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M が有限F型で N が F豊富であるとき、どのような条件下で Hom_R(M,N) が最大コhen-マカウレーとなるか？
• RQ2 有限F型モジュールは、正則整域の除法類群における torsion 要素とどのように関係するか？
• RQ3 分割次元およびフロベニウス分割挙動の観点から、F豊富モジュールはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 除法類のコhen-マカウレー性に関するF正則特異点の結果を、除法類の位数と p が互いに素であることを仮定せずに拡張できるか？
• RQ5 完全交差環および不変部分環において、有限F型およびF豊富モジュールの完全分類をどのように得られるか？

主な発見

• M が有限F型で N が F豊富であり、追加の技術的条件を満たすとき、Hom_R(M,N) は最大コhen-マカウレーである。
• 正則整域の除法類群における torsion 要素を表す反射的モジュールは、有限位数を仮定しなくても有限F型である。
• F有限正則環で、残渣体が完全である正則環に対して、(X,Δ) が強くF正則で、ある 0 ≤ Δ′ ≤ Δ に対して rD ∼ rΔ′ が成り立つならば、O_X(−D) はコhen-マカウレーである。
• フロベニウス巾における自由部分モジュールの最大多重度 b_e に対して、liminf_{e→∞} p^{eα(R)} / b_e = 0 である条件は、(N,L) が豊富なペアであることを保証する。
• 完全交差環および不変部分環において、有限F型およびF豊富モジュールのカテゴリは完全な分類を有する。
• Proj(A) 上のベクトルバンドルのフロベニウス周期性は、フロベニウス反復における対応する M(e) モジュールの同型にちょうど一致する。