[論文レビュー] Finite field theories and causality

Andreas Aste|ArXiv.org|Oct 13, 2008

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分布の分割と因果性条件を用いることで、紫外発散を最初から回避する数学的に厳密な枠組みとして、摂動的量子場理論における因果的エピスタイン＝グレーザー手法を提示する。有限で減算された分散積分が発散するフェイニマン積分に代わることを示し、スカラー理論およびゲージ理論における正規化の健全な基礎を確立する。

ABSTRACT

A condensed introduction to the basic concepts of causal perturbation theory is given. Causal perturbation theory is a mathematically rigorous approach to renormalization theory, which makes it possible to put the theoretical setup of perturbative quantum field theory on a sound mathematical basis by avoiding infinities from the outset. It goes back to a seminal work by Henri Epstein and Vladimir Jurko Glaser published in 1973, where a specific causality condition was imposed at every order of perturbation theory in the case of scalar quantum field theory such that divergent integrals could be avoided in actual calculations of loop diagrams. In the meantime, the causal approach has been applied also to a wide range of gauge theories.

研究の動機と目的

• 無限大を最初から回避することで、摂動的量子場理論に数学的に厳密な基礎を確立すること。
• 時-order化された場の積における不適切に定義された演算子積の問題を、分布論を用いて解消すること。
• エピスタイン＝グレーザーの因果的アプローチを、QCD や標準模型を含むゲージ理論へ一般化すること。
• 正規化が恣意的な正則化ではなく、有限で減算された分散関係によって達成されることを示すこと。
• ゲージ不変性が分割手順における局所的補正項を一意に決定することを示すこと。

提案手法

• 時-order化された相互作用場演算子の積に分布論を適用し、それらを演算子値分布として取り扱う。
• エピスタイン＝グレーザーの帰納的手続きを用いて因果性条件を課し、特異性を遅延および先進的成分を用いて分離する。
• 差分布 $ D_n = R_n' - A_n' $ の分布の分割を用いて、発散を回避する時-order化積 $ T_n = R_n - R_n' $ を定義する。
• 公式 $ \hat{r}(p) = \frac{i}{2\pi} \int \frac{\hat{d}(tp)}{(t-i0)^{\omega+1}(1-t+i0)} dt + \sum c_\alpha p^\alpha $ を用いて、発散するフェイニマン積分を有限で減算された分散積分に置き換える。
• スカラー $ \varphi^3 $-理論にこの手法を適用し、その後、1次結合とゴースト場を用いてQCDのようなゲージ理論へ拡張する。
• フーリエ変換を用いて配置空間の分布と運動量空間の振幅を関係づけ、因果性とユニタリティを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布論を用いることで、摂動的量子場理論における紫外発散を最初から回避する方法は何か？
• RQ2 数学的に厳密に時-order化された相互作用場演算子の積を定義する際、因果性の役割は何か？
• RQ3 エピスタイン＝グレーザー法は、どのように発散するフェイニマン積分を有限で減算された分散積分に置き換えるか？
• RQ4 ゲージ理論において、分布の分割手順中でゲージ不変性はどのように保たれ、局所的補正項を一意に決定するか？
• RQ5 因果的アプローチは、高次の図やQCD、標準模型のような複雑な理論へ体系的に拡張可能か？

主な発見

• 因果的エピスタイン＝グレーザー法は、分布の分割と因果性を用いることで、無限大を導入せずに摂動的S行列を構成する。
• 紫外発散は、公式 $ \hat{r}(p) = \frac{i}{2\pi} \int \frac{\hat{d}(tp)}{(t-i0)^{\omega+1}(1-t+i0)} dt + \sum c_\alpha p^\alpha $ を用いて、発散する積分を有限で減算された分散積分に置き換えることで、最初から回避される。
• 力の数え上げ度 $ \omega $ は、減算項 $ \sum c_\alpha p^\alpha $ の数を決定し、配置空間における局所的補正項に対応する。
• QCDでは、2次のゲージ不変性が分割 $ \frac{k^\mu k^\nu}{k^2+i0} + C g^{\mu\nu} $ の係数 $ C $ を一意に決定し、正しい4グルーオン頂点が生成されることを保証する。
• この手法は、高次の図、曲がった時空、4次元を超える理論へ一般化可能であり、超対称的および量子重力モデルを含む。
• 因果的アプローチは、標準的な正規化の数学的に厳密な代替手段を提供し、軸性異常、自発的対称性の破れ、多ループ計算への応用を含む。