[論文レビュー] Finite flat commutative group schemes over complete discrete valuation rings III: classification, tangent spaces, and semistable reduction of Abelian varieties

Mikhail V. Bondarko|ArXiv.org|Dec 29, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カルティエモジュールを用いて、混合特徴標数の完備離散付値環上の有限平坦可換群スキームを完全に分類し、アーベル多様体の半安定還元および通常還元に対する有限 $p$-進基準を確立する。$K$ 上で半安定還元であることは、$ \mathfrak{O}_K$ 上の群スキーム $H$ が存在し、$H_K$ が $ \operatorname{Ker}[p^l]_{V,K}$ に埋め込まれ、かつ $T H_{\mathfrak{O}_L}$ が $(\mathfrak{O}_L/p^l \mathfrak{O}_L)^m$ を含むことと同値であることを証明する。通常還元に対しても同様の基準が成り立つ。

ABSTRACT

We classify group schemes in terms of their Cartier modules. We also prove the equivalence of different definitions of the tangent space and the dimension for these group schemes; in particular, the minimal dimension of a formal group law that contains $S$ as a closed subgroup is equal to the minimal number of generators for the affine algebra of $S$. As an application the following reduction criteria for Abelian varieties are proved. Let $K$ be a mixed characteristic local field, let its residue field have characteristic $p$, $L$ be a finite extension of $K$, let $\mathfrak{O}_K\subset\mathfrak{O}_L$ be their rings of integers. Let $e$ be the absolute ramification index of $L$, $s=[\log_p(pe/(p-1))]$, $e_0$ be the ramification index of $L/K$, $l=2s+v_p(e_0)+1$. For a finite flat commutative $\mathfrak{O}_L$-group scheme $H$ we denote the $\mathfrak{O}_L$-dual of the module $J/J^2$ by $TH$. Here $J$ is the augmentation ideal of the affine algebra of $H$. Let $V$ be an $m$-dimensional Abelian variety over $K$. Suppose that $V$ has semistable reduction over $L$. \begin{theor} $V$ has semistable reduction over $K$ if and only if for some group scheme $H$ over $\mathfrak{O}_K$ there exist embeddings of $H_K$ into $\operatorname{Ker}[p^{l}]_{V,K}$, and of $(\mathfrak{O}_L/p^l\mathfrak{O}_L)^m$ into $TH_\ol$. \end{theor} This criterion has a very nice-looking version in the ordinary reduction case. \begin{theor} $V$ has ordinary reduction over $K$ if and only if for some $H_K\subset \operatorname{Ker}[p^{l}]_{V,K}$ and $M$ unramified over $K$ we have $H_M\cong (μ_{p^{l},M})^m$. Here $μ$ denotes the group scheme of roots of unity.\end{theor}

研究の動機と目的

• 混合特徴標数の完備離散付値環上の有限局所平坦可換群スキームを、カルティエモジュールを用いて完全に分類すること。
• このような群スキームについて、接空間および次元の異なる定義の間の同値性を確立すること。
• 局所体上のアーベル多様体の半安定還元および通常還元に対する有限 $p$-進基準を導出すること。
• 群スキームに平坦性条件を課さない、あるいは残渣体が完全でない場合の制限を回避して、既存の結果を一般化すること。
• カルティエモジュール分類がガロア安定であることの証明により、降下法の適用を可能にすること。

提案手法

• 群スキームからそのカルティエモジュールへのオーレット関手を用いて分類を達成し、任意の局所群スキームに対して像を明示的に記述する。
• 接空間 $TH$ は、$H$ の座標環の増幅イデアル $J$ に対して $J/J^2$ の $\mathfrak{O}_L$-双対として定義され、標準的な次元および接空間の定義と一致することが示される。
• 本稿では、アーベル多様体の $p$- torsion 部分群およびそのネロンモデルの構造を用いて、群スキームの埋め込みと還元型の関係を関係づける。
• 関係する主要な不変量として、分岐指数 $e$、整数 $s = [\log_p(pe/(p-1))]$、および $l = 2s + v_p(e_0) + 1$ が、必要な torsion 水準 $p^l$ を定義するために用いられる。
• 証明は、形式群の性質、双対性、および離散付値環上の $p$-可除群の構造に依拠する。
• 基準は、$p$- torsion 部分群スキームの一般化ファイバーおよびその接空間の解析を通じて、降下および基底変換の技法を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴標数の完備離散付値環上の有限平坦可換群スキームは、カルティエモジュールを用いてどのように完全に分類できるか？
• RQ2 有限平坦群スキームの接空間とその次元および最小の形式群法則埋め込みとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 局所体 $K$ の有限拡大 $L$ 上で半安定還元をもつアーベル多様体が、$K$ 上でも半安定還元をもつための条件は何か？
• RQ4 $K$ 上のアーベル多様体が通常還元をもつための、$p^l$- torsion 部分群およびその接空間に対する有限 $p$-進条件は何か？
• RQ5 カルティエモジュール分類は、ブレウイルの分類など既存の分類と比べて、一般性およびガロア安定性の観点でどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、追加の平坦性仮定なしに、混合特徴標数の完備離散付値環上の有限局所平坦可換群スキームを、そのカルティエモジュールの観点から完全に分類する。
• 与えられた局所群スキーム $S$ を閉部分群として含む形式群法則の最小次元は、$S$ の座標環の生成元の最小個数に等しくなり、群スキームの構造と形式群論の間の重要な関係を確立する。
• $K$ 上の $m$ 次元アーベル多様体 $V$ の半安定還元は、$\mathfrak{O}_K$ 上の有限平坦群スキーム $H$ が存在し、$H_K$ が $\operatorname{Ker}[p^l]_{V,K}$ に埋め込まれ、かつ $T H_{\mathfrak{O}_L}$ が $(\mathfrak{O}_L/p^l \mathfrak{O}_L)^m$ を含むことと同値である。ここで $l = 2s + v_p(e_0) + 1$、$s = [\log_p(pe/(p-1))]$ である。
• 通常還元に関しては、$V$ が $K$ 上で良い通常還元をもつこと、$\mathfrak{O}_K$ 上の型が乗法的である群スキーム $H$ が存在し、$T H_{\mathfrak{O}_L} \cong (\mathfrak{O}_L/p^{l'} \mathfrak{O}_L)^m$ かつ $H_K \subset \operatorname{Ker}[p^{l'}]_{V,K}$ であること、およびある不分岐拡大 $M$ に対して $H_M \cong (\mu_{p^{l'},M})^m$ であることの同値性が成り立つ。ここで $l' = s + v_p(e_0) + 1$ である。
• カルティエモジュールアプローチはガロア安定であるため、降下法が適用可能であり、従来の分類とは異なり、残渣体が完全でない場合の制限を回避する。
• 基準は有限性を持つ：基準は、$p^l$- torsion 部分群スキームおよびその接空間にのみ依存する。これは、グロテンディークの基準を一般化しており、$p$- torsion の全情報を必要とせず、有限の情報で十分である。