[論文レビュー] Finite generating functions for the sum of digits sequence

Christophe Vignat, Tanay Wakhare|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2進数の桁の和関数 $ s_2(n) $ の有限生成関数を導出し、AlloucheとShallitの古典的結果を一般化する。$ n = 0 $ から $ b^p - 1 $ までの有限和に $ s_b(n) $ と関数 $ f(n) $ を含め、追加の実数パラメータ $ z $ を導入し、Hurwitzゼータ関数を用いた閉形式表現を導き、Dirichlet $ L $-関数や確率的モデルとの関連を確立する。

ABSTRACT

We derive some new finite sums involving the sequence $s_{2}\left(n ight),$ the sum of digits of the expansion of $n$ in base $2.$ These functions allow us to generalize some classical results obtained by Allouche, Shallit and others.

研究の動機と目的

• 桁の和関数 $ s_2(n) $ を含む古典的無限級数結果を、区間 $[0, b^p - 1]$ における有限和へ一般化すること。
• 補助的な実数パラメータ $ z $ を導入することで、積分変換を用いた関数族への拡張を可能にする。
• 桁の和関数とHurwitzゼータ関数やDirichlet $ L $-関数などの特殊関数との関連を確立すること。
• 独立なベルヌーイ確率変数を用いた確率的表現により、桁の和関数のモーメント計算を可能にすること。
• 正規化された桁の和確率変数 $ Z_N $ のモーメントおよび累積量の明示的表現を導出し、その極限定義分布を解析すること。

提案手法

• Hurwitzゼータ関数を用いて、$ s_b(n) $ と $ (z+n)^{-\beta} - (z+n+1)^{-\beta} $ の差分を含む有限和の恒等式を導出する。
• 特に $ s_b(bn + r) = s_b(n) + r $ である再帰的性質を用い、基数$ b $ の桁展開に基づく和の分解を行う。
• パラメータ $ z $ を導入して恒等式を一般化し、積分変換やラプラス型表現を用いて関数族への拡張を可能にする。
• $ Z_N $ を2進数の各桁の寄与に対応する独立な確率変数 $ W_k $ の和として表現する確率的モデルを構築する。
• 各 $ W_k $ の特性関数から導かれる双曲余弦関数の積を用いて、$ Z_N $ のモーメント母関数を計算する。
• 累積量母関数を導出し、累積量 $ \kappa_{2n}^{(N)} $ の明示的公式を導き、非ガウス型極限定義分布への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ s_2(n) $ を含む古典的無限級数、例えばリーマン・ゼータ関数やディリクレ・ゼータ関数に関連するものについて、パラメータ $ z $ を持つ有限和へ一般化可能か？
• RQ2 和 $ \sum_{n=0}^{b^p-1} s_b(n) f(n+z) $ に実数パラメータ $ z $ を含めることで、Hurwitzゼータ関数などの特殊関数を用いた閉形式表現が得られるか？
• RQ3 正規化された桁の和 $ Z_N $ の分布的挙動は何か？ そのモーメントおよび累積量は明示的に計算可能か？
• RQ4 $ N \to \infty $ の極限において $ Z_N $ の分布が既知の分布に収束するか？ もし収束するならば、$[-3,3]$ 上の一様分布とどのように比較できるか？
• RQ5 有限生成関数を用いて、桁の和関数とDirichlet $ L $-関数との関連を形式的に定式化可能か？

主な発見

• 定理1で示されるように、有限和 $ \sum_{n=1}^{b^p-1} s_b(n) \left( \frac{1}{(z+n)^\alpha} - \frac{1}{(z+n+1)^\alpha} \right) $ は、Hurwitzゼータ関数の差分として閉形式で表現可能である。
• パラメータ $ z = 0 $ における $ p \to \infty $ の極限は、リーマンゼータ関数とディリクレイータ関数を含む古典的恒等式を回復し、AlloucheとShallitの結果と整合性を確認する。
• $ \alpha = 1 $ の場合、和は $ \sum_{n=1}^{b^p-1} \frac{s_b(n)}{n(n+1)} $ に簡略化され、Putnam競技会の結果 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{s_2(n)}{n(n+1)} = 2\log 2 $ を一般化する。
• 正規化された桁の和 $ Z_N $ の平均は $ \mu_N = 2^N - \frac{N}{2} - 1 $、分散は $ \sigma_N^2 = \frac{1}{9}\left(2^{2N} - \frac{3}{4}N - 1\right) $ であり、独立なベルヌーイ成分から導出される。
• 標準化された変数 $ \hat{Z}_N $ の累積量は $ \kappa_{2n}^{(N)} = \frac{9^n}{(4^N - \frac{3}{4}N - 1)^n} \cdot \frac{B_{2n}}{2n} \cdot \frac{4^n(4^{nN} - N - 1) + N}{4^n - 1} $ で与えられ、完全なモーメント特徴付けが可能である。
• 極限定義累積量 $ \kappa_{2n}^{(\infty)} = \frac{B_{2n}}{2n} \cdot \frac{6^{2n}}{2^{2n} - 1} $ は非ガウス型極限定義分布を示し、漸近的に $[-3,3]$ 上の一様分布に類似する。