[論文レビュー] Finite groups of automorphisms of Enriques surfaces and the Mathieu group $M_{12}$

Shigeru Mukai, Hisanori Ohashi|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、K3表面におけるシンプレクティック作用と類似する方法で、エンリケス表面に作用する有限群を分類し、'マチュー作用'——つまり、リーマン数が要素の位数にのみ依存し、12点へのマチュー群 $M_{12}$ の作用の固定点分布と一致する——という概念を導入する。有限群 $G$ がこのような作用を持つための必要十分条件は、$G$ が $τ_6$ に埋め込まれており、$|G|$ が $2^4$ で割り切れないことであると証明しており、$τ_5$、$N_{72}$、$τ_6$ に対して、それぞれ30度、18度、10度の極小化されたエンリケス表面への明示的構成を与えている。

ABSTRACT

An action of a group $G$ on an Enriques surface $S$ is called Mathieu if it acts on $H^0(2K_S)$ trivially and every element of order 2, 4 has Lefschetz number 4. A finite group $G$ has a Mathieu action on some Enriques surface if and only if it is isomorphic to a subgroup of the symmetric group $\mathfrak{S}_6$ of degree 6 and the order $|G|$ is not divisible by $2^4$. Explicit Mathieu actions of the three groups $\mathfrak S_5, N_{72}$ and $\mathfrak A_6$, together with non-Mathieu one of $H_{192}$, on polarized Enriques surfaces of degree 30, 18, 10 and 6, respectively, are constructed without Torelli type theorem to prove the if part.

研究の動機と目的

• K3表面におけるシンプレクティック作用と類似する方法でエンリケス表面に作用する有限群を分類すること。これは、$M_{23}$ がK3自己同型の分類において果たす役割に由来する。
• マチュー作用——つまり、$H^0(2K_S) \simeq \mathbb{C}$ に自明に作用し、位数2または4の各要素のリーマン数が正確に4に等しい——を定義・研究すること。
• 有限群 $G$ があるエンリケス表面にマチュー作用を持つための特徴づけ定理を証明すること：$G$ が $\mathfrak{S}_6$ に埋め込まれており、$|G|$ が $2^4$ で割り切れないことと同値である。
• 極小化されたエンリケス表面（それぞれ30度、18度、10度）に対して、$τ_5$、$N_{72}$、$τ_6$ のマチュー作用を明示的に構成すること。Torelli型定理に依存しない。

提案手法

• エンリケス表面への群作用を、$H^0(2K_S) \simeq \mathbb{C}$ に自明に作用し、位数2または4の各要素のリーマン数が正確に4に等しい場合にマチュー作用と定義する。
• エンリケス表面の半シンプレクティック自己同型のリーマン数表を用いてマチュー条件を同定し、K3表面とは異なり、リーマン数が位数だけでなく、他の要因にも依存することに注意する。
• $\mathfrak{S}_5$、$N_{72}$、$\mathfrak{A}_6$ の明示的構成は、射影空間内の完全交差で定義される$K3$表面の商、および $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の三重二次超曲面で定義される$K3$表面の商を通じて行う。
• $\mathfrak{S}_6 \hookrightarrow M_{12}$ の埋め込みを用いて、群作用を $M_{12}$ の固定点データに関連づけ、$M_{11}$ の要素の固定点数がその位数にのみ依存することを応用する。
• 格子論的技法を用いる：不変格子を $K3$ 格子 $\Lambda$ 及びその部分格子 $\Lambda_+(2)$、$\Lambda_-$ に整備的に埋め込み、存在定理を用いて必要なエンリケス表面の存在を検証する。
• 強Torelli型定理を用い、滑らかな有理曲線に関する反転を用いたねじれを施した後、$K3$ 格子上の群のコhomological作用を代数的自己同型としてエンリケス表面に実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群が、$M_{12}$ がK3自己同型の分類において果たす役割と類似した方法でエンリケス表面に作用できるか？
• RQ2 有限群 $G$ がエンリケス表面に作用するとき、その作用が'マチュー的'であるための条件は何か？すなわち、各群要素のリーマン数がその位数にのみ依存し、$M_{12}$ の12点への作用の固定点データと一致する。
• RQ3 $\mathfrak{S}_5$、$N_{72}$、$\mathfrak{A}_6$ の3つの群が極小化されたエンリケス表面の自己同型群として実現可能か？もし可能なら、どのような極小化度数か？
• RQ4 $H_{192}$ はエンリケス表面に半シンプレクティック作用を持つが、なぜマチュー作用ではないのか？（例：$(u,v,w) \mapsto (u,w,v)$ の置換は、$M_{12}$ の固定点パターンと一致しないリーマン数を持つ。）
• RQ5 $C_2 \times \mathfrak{A}_4$ のマチュー作用を持つ1次元族のエンリケス表面が存在するか？格子埋め込みを用いた格子論的構成により、$M_{12}$ の $\Omega_+$ への作用を用いて証明可能か？

主な発見

• 有限群 $G$ があるエンリケス表面にマチュー作用を持つための必要十分条件は、$G$ が対称群 $\mathfrak{S}_6$ に埋め込まれており、$|G|$ が $2^4=16$ で割り切れないことである。
• $\mathfrak{S}_5$ は30度のエンリケス表面にマチュー群として作用する。これは、$\mathbb{P}^4$ 内の完全交差で定義される$K3$表面を、クレモナ型の対合で割った商として構成される。
• $N_{72}$ は18度のエンリケス表面にマチュー群として作用する。これは、$\mathbb{P}^5$ 内の連立方程式系で定義される$K3$表面を、線形的対合で割った商として得られる。
• $\mathfrak{A}_6$ は10度のエンリケス表面にマチュー群として作用する。これは、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の三重二次方程式で定義される$K3$表面を、自由な対合で割った商として構成される。
• $H_{192}$ はエンリケス表面に半シンプレクティック作用を持つが、マチュー作用ではない。なぜなら、一部の要素（例：$(u,v,w) \mapsto (u,w,v)$ の置換）のリーマン数が $M_{12}$ の固定点パターンと一致しないからである。
• $C_2 \times \mathfrak{A}_4$ のマチュー作用を持つ1次元族のエンリケス表面が存在する。これは、$K3$ 格子およびエンリケス格子への格子埋め込みを用い、$M_{12}$ の $\Omega_+$ への作用を用いて構成される。