[論文レビュー] Finite groups of birational selfmaps of threefolds

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性が0の代数閉体上での非ジョーダンな双有理自己同型群をもつ3次元多様体を分類する。その群が非ジョーダンであるための必要十分条件は、3次元多様体が、$E \times \mathbb{P}^2$（$E$ は楕円曲線）または $S \times \mathbb{P}^1$ に双有理同型である場合に限ることを示している。ここで $S$ はアーベル曲面、双楕円曲面、あるいは局所的に自明なヤコビ線形系をもつ kodaira次元1の曲面である。

ABSTRACT

We determine three-dimensional algebraic varieties whose groups of birational selfmaps do not satisfy the Jordan property.

研究の動機と目的

• 双有理自己同型群がジョーダンでない3次元多様体を分類すること。これは、有限部分群の有界性に関連する性質である。
• 表面および有理的多様体におけるジョーダン性および有限部分群の有界性に関する既知の結果を、3次元多様体へと拡張すること。
• 3次元多様体の双有理自己同型群がジョーダンでなくなる幾何的条件を明確にすること。
• ファイブレーションと表面的基底ケースの解析を通じて、3次元における非ジョーダンな双有理自己同型群の構造を解明すること。

提案手法

• 最大有理的連結ファイブレーション（MRC）を用いて、次元を低くした基底ケースへの分類を簡略化する。
• $\mathbb{K}$-点をもつ幾何的有理的表面の双有理自己同型群の有界有限部分群に関する定理1.6の適用。
• 有理的連結および非有理被覆でない多様体の双有理自己同型群における既知のジョーダン性および有界性結果（定理1.4）の活用。
• ファイブレーション上での自己同型群の完全列を用いた、ファイバーごとの作用の解析。
• kodaira次元1の曲面における多項式 canonical ファイブレーションのヤコビ線形系を用い、局所的に自明である条件を同定する。
• 有理的同型と $\mathbb{P}^1$ を含む積の自己同型群の構造を用いて、既知のケースへの還元を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いつ、3次元多様体の双有理自己同型群がジョーダンでないか？
• RQ2 3次元多様体の幾何的条件として、その双有理自己同型群が有界でない有限部分群をもつのはどのような場合か？
• RQ3 どの曲面 $S$ に対して $\operatorname{Bir}(S \times \mathbb{P}^1)$ が非ジョーダンになるか？
• RQ4 基底曲面 $S$ にどのような条件を課すと $\operatorname{Bir}(S \times \mathbb{P}^1)$ が非ジョーダンになるか？
• RQ5 有理的でないが有理的連結な3次元多様体の双有理自己同型群は、必ず非ジョーダンか？

主な発見

• 3次元多様体の双有理自己同型群が非ジョーダンであるための必要十分条件は、その多様体が楕円曲線 $E$ に対して $E \times \mathbb{P}^2$ に双有理同型であることである。
• $\operatorname{Bir}(X)$ が非ジョーダンであるのは、$X$ がアーベル曲面 $S$ に対して $S \times \mathbb{P}^1$ に双有理同型である場合に限る。
• $\operatorname{Bir}(X)$ が非ジョーダンであるのは、$X$ が双楕円曲面 $S$ に対して $S \times \mathbb{P}^1$ に双有理同型である場合に限る。
• $\operatorname{Bir}(X)$ が非ジョーダンであるのは、$X$ が kodaira次元1で局所的に自明なヤコビ線形系をもつ曲面 $S$ に対して $S \times \mathbb{P}^1$ に双有理同型である場合に限る。
• 最大有理的連結ファイブレーションの相対次元が1である3次元多様体に対して、$\operatorname{Bir}(X)$ が非ジョーダンであるのは、基底が楕円曲線であり、$X$ が $Y' \times \mathbb{P}^2$ に双有理同型である場合に限る。
• 分類は完全であり、有理的表面に $\mathbb{K}$-点をもつ場合の有限部分群の有界性と、ファイブレーション上の自己同型群の構造に依存している。