[論文レビュー] Finite jet determination of holomorphic mappings at the boundary

Peter Ebenfelt|ArXiv.org|Jan 21, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℂ^N 内の滑らかな実超曲面間の正則写像について、境界における有限階数決定を確立する。この結果、源超曲面が点で k₀-非退化であるとき、そのような写像は完全にその点における 2k₀-階数で決定されることを示す。この結果は、Chern–Moser の有限階数決定を、滑らかで解析的でない設定に拡張し、無限次元となる無限小 CR自己同型写像の空間が有限次元であるための十分条件を提供する。

ABSTRACT

Let M,M' be smooth real hypersurfaces in N-dimensional space and assume that M is k-nondegenerate at a point p in M. We prove that holomorphic mappings that extend smoothly to M, sending a neighborhood of p in M diffeomorphically into M' are completely determined by their 2k-jet at p. As an application of this result, we also give sufficient conditions on a smooth real hypersurface which guarantee that the space of infinitesimal CR automorphisms is finite dimensional.

研究の動機と目的

• 実解析的から滑らかな実超曲面への有限階数決定結果の拡張。
• 滑らかな超曲面を滑らかに他方の超曲面に写像する正則写像が、境界における有限階数で完全に決定されることの確立。
• 無限次元となる無限小 CR 自己同型写像空間が有限次元であることを保証する十分条件の提供。
• Chern–Moser の階数決定結果を、Levi 非退化および実解析的でない設定へ一般化すること。

提案手法

• 証明は、超曲面上の CR 構造の幾何学から導かれる微分方程式系に依拠する。
• CR ベクトル場の反復作用による定義関数の勾配の張る空間に基づく k₀-非退化性の概念を用いる。
• k₀-非退化性の下で、写像のすべての階数が 2k₀-階数によって決定されることを示す [BER4] の結果を活用する。
• Cartan 接続を避けるために、直接的に階数延長と滑らかなカテゴリーにおける CR 幾何学を用いる。
• 超曲面間の写像の階数延長に関する反射公式と構造方程式を確立する。
• 接ベクトルのコファームと双対基底を用いた局所座標系における、接ベクトルのコーシー＝リーマン作用素を用いた解析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実解析的でない滑らかな実超曲面間の正則写像は、境界における有限階数で決定可能か？
• RQ2 このような写像を決定するのに必要な最小の階数は何か？ そして、それは超曲面の非退化性の種類にどのように依存するか？
• RQ3 滑らかな超曲面の無限小 CR 自己同型写像空間が有限次元であるための条件は何か？
• RQ4 Chern–Moser の階数決定定理は、滑らかで Levi 非退化でない超曲面へ一般化可能か？
• RQ5 非有限非退化超曲面において、CR 正則ベクトル場の存在は、接ベクトルの ∂̄_b 複体の可解性と関連づけられるか？

主な発見

• 滑らかな実超曲面 M に滑らかに延長される正則写像は、M 上の点 p₀ において k₀-非退化であれば、その 2k₀-階数によって完全に決定される。
• この結果は、滑らか（C^∞）な超曲面および滑らかな写像について成り立ち、実解析性を要件としていた従来の結果を拡張する。
• ある点で有限非退化である滑らかな超曲面の無限小 CR 自己同型写像空間は、有限次元である。
• 証明は、CR 幾何学から導かれる微分方程式系を介して、写像の高階数のすべてが 2k₀-階数によって決定されることを示している。
• 無限次元の自己同型群の存在の必要条件は、非自明な CR 正則ベクトル場の存在であり、これは超曲面が有限非退化でない場合に生じ得る。
• 接ベクトルの ∂̄_b 複体が (0,1) 水準で可解であるならば、特定の幾何的条件下で、非有限非退化超曲面上に CR 正則ベクトル場が存在することが示唆される。