[論文レビュー] Finite Order Invariants of Legendrian, Transverse, and Framed Knots in Contact 3-manifolds

Vladimir Tchernov|ArXiv.org|Jul 19, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、接触3次元多様体の広いクラスにおいて、Legendrian、転送的、フレーム付き絡み目の有限位数不変量（任意のアーベル群値）の群の間で、標準的な同型写像を確立する。さらに、特に $S^1 \times S^2$ および非可定向な曲面への $S^1$-ファイブレーションにおいて、Legendrian同相な絡み目がフレーム付きとして同相であるが、有限位数不変量によって区別可能であるような具体的な例を構成する。これらの例では、補空間が過捻り（overtwisted）である場合でさえも、その区別が可能である。

ABSTRACT

We show that for a big class of contact manifolds the groups of order $\leq n$ invariants (with values in an arbitrary Abelian group) of Legendrian, of transverse and of framed knots are canonically isomorphic. On the other hand for an arbitrary cooriented contact structure on $S^1 imes S^2$ with the nonzero Euler class of the contact bundle we construct examples of Legendrian homotopic Legendrian knots $K_1$ and $K_2$ such that they realize isotopic framed knots but can be distinguished by finite order invariants of Legendrian knots in $S^1 imes S^2$. We construct similar examples for a big class of contact manifolds $M$ such that $M$ is a total space of a locally trivial $S^1$-fibration over a nonorientable surface. We show that in some of these examples the complements of $K_1$ and of $K_2$ are overtwisted.

研究の動機と目的

• 接触3次元多様体におけるLegendrian、転送的、フレーム付き絡み目の有限位数不変量の関係を調査すること。
• 有限位数不変量が、Legendrian同相であり、フレーム付きとして同相であるLegendrian絡み目を区別できるかどうかを特定すること。
• このような不変量が、位相的同値であるにもかかわらず差を検出できる、特定の接触多様体における明示的な反例を構成すること。
• 同型写像の結果を非可定向な曲面への $S^1$-ファイブレーションに拡張すること。
• 構成された例における絡み目の補空間の幾何的性質、特にそれが過捻りかどうかを分析すること。

提案手法

• 接触3次元多様体の広いクラスにおいて、Legendrian、転送的、フレーム付き絡み目の有限位数不変量の群の間で、標準的な同型写像を確立する。
• アーベル群値不変量の代数的構造を活用し、接触トポロジーにおける有限位数不変量の理論を用いる。
• $S^1 \times S^2$ におけるLegendrian絡み目の明示的例を構成し、接触バンドルの非自明なオイラー類を持つものとして、Legendrian同相であり、フレーム付きとして同相であるが、有限位数不変量によって区別可能な例を提示する。
• 接触幾何およびシンプレクティック幾何の技術を適用し、特に $S^1 \times S^2$ および $S^1$-ファイブレーションにおける接触構造の分類を活用する。
• 構成された例における絡み目の補空間を分析し、過捻り接触トポロジーからの基準を用いて、それが過捻りであることを証明する。
• 定理 3.0.6 を非可定向な曲面への $S^1$-ファイブレーションの状況に拡張し、このより広い設定でも同型写像の結果が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触3次元多様体の広いクラスにおいて、Legendrian、転送的、フレーム付き絡み目の有限位数不変量の群は、標準的に同型であるか？
• RQ2 有限位数不変量は、Legendrian同相であり、フレーム付きとして同相であるLegendrian絡み目を区別できるか？
• RQ3 そのような区別可能なLegendrian絡み目の補空間が過捻りである例が存在するか？
• RQ4 有限位数不変量群の同型写像を非可定向な曲面への $S^1$-ファイブレーションに拡張できるか？
• RQ5 接触バンドルのオイラー類は、このような区別可能な不変量の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 広いクラスの接触3次元多様体において、Legendrian、転送的、フレーム付き絡み目の有限位数不変量の群は、標準的に同型である。
• $S^1 \times S^2$ におけるLegendrian同相な絡み目で、接触バンドルの非自明なオイラー類を持つ例を明示的に構成し、それらがフレーム付きとして同相であるが、有限位数不変量によって区別可能であることを示した。
• これらの例の一部では、Legendrian絡み目の補空間が過捻りであることが判明し、過捻りであっても不変量による区別が可能であることを示した。
• 同型写像の結果は、非可定向な曲面への $S^1$-ファイブレーションに拡張され、以前の同型写像をより広いクラスの接触多様体に一般化した。
• 有限位数不変量が、位相的およびフレーム付き同相性の下でも、Legendrian絡み目の型に非自明な差を検出できることを示す一連の例を提供した。
• 本稿は、過捻り接触構造においても、有限位数不変量がLegendrian同相型に敏感であることを確認した。これは、過捻り性がこのような不変量の有効性を制限すると考えられていたのとは対照的である。