[論文レビュー] Finite $p$-groups of birational automorphisms and characterizations of rational varieties

Jinsong Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有理的接続された多様体の合理性基準を、双有理自己同型群の有限 $p$-群を用いて確立する。代数閉体の標数0における $n$ 次元の有理的接続された多様体の双有理自己同型群が、十分に大きな素数 $p > R(n)$ に対して $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ に同型な部分群を含むならば、その多様体は有理的である。証明は $G$-可換な最小モデルプログラム（MMP）、ファノ多様体の有界性、次元に関する帰納法を用い、そのような $p$-群がトーラス作用と有理的ファイブレーションを通じて合理性を強制することを示す。

ABSTRACT

We study finite $p$-subgroups of birational automorphism groups. By virtue of boundedness theorem of Fano varieties, we prove that there exists a constant $R(n)$ such that a rationally connected variety of dimension $n$ over an algebraically closed field is rational if its birational automorphism group contains a $p$-subgroups of maximal rank for $p > R(n)$. Some related applications on Jordan property are discussed.

研究の動機と目的

• 有理的接続多様体が、その双有理自己同型群に大きな初等アーベル $p$-群が存在する場合に、どのような条件下で有理的になるかを特定すること。
• カントゥの有理的多様体の双有理自己同型群による特徴づけを一般化し、可解ベクトル群作用の代わりに有限 $p$-群作用を用いること。
• 双有理自己同型群 $\mathrm{Bir}(X)$ に大きな $p$-部分群が存在する場合、$X$ がトーラスまたはアーベル多様体作用を持つ多様体と双有理同値になるかどうかを調査すること。
• クレモナ群のジョルダン性に関する結果を強化し、それを有理的性および幾何的構造と関連付けること。
• 非ジョルダンな双有理自己同型群を有する多様体の特徴づけを、非自明な半アーベル多様体作用を用いて予想的に与えること。

提案手法

• 特徴的0の代数閉体上に定義された、非特異かつ有理的接続された多様体 $X$ に対して、有限 $p$-群 $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ の忠実な作用を伴う $G$-可換な最小モデルプログラム（MMP）を適用する。
• ファノ多様体の有界性定理（BABB）を用い、$p$ が十分に大きい場合、このような $p$-群が自己同型群の最大トーラスに含まれることを示し、これによりトーリック構造と有理的性が導かれる。
• $G$-モリファイブレーション $f: Y \to Z$ を介して $p$-群作用を分解し、$1 \to G' \to G \to G'' \to 1$ の完全列を得る。ここでは $G'$ と $G''$ がそれぞれ一般ファイバーと基底に作用する。
• 次元に関する帰納法を用いる：$p > R(\dim Z)$ および $p > R(\dim Y_\eta)$ のとき、基底 $Z$ と一般ファイバー $Y_\eta$ が有理的であると仮定する。
• 定理1.1（プロホロフ–シュラモフ）を用い、$\mathrm{Bir}(X)$ の $p$-部分群のランクを有界化し、$p$ が大きい場合に最大ランクをとることを保証する。
• 体 $k$ がすべての单位根を含むことを利用して、$\mathrm{PGL}(n+1,k)$ を $\mathrm{Cr}_n(k)$ に埋め込み、ランク $n$ の $p$-部分群の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双有理自己同型群 $\mathrm{Bir}(X)$ にランク $n$ の大きな初等アーベル $p$-群が存在する場合、有理的接続 $n$ 次元多様体 $X$ が有理的になる条件は何か？
• RQ2 大きな $p$ に対して $\mathrm{Bir}(X)$ に最大ランクの $p$-部分群が存在する場合、$X$ がトーラスまたはアーベル多様体作用を持つ多様体と双有理同値になるように強制されるか？
• RQ3 多様体の双有理自己同型群が $\mathrm{Cr}_n(k)$ に同型な部分群を含むのは、その多様体が有理的である場合に限るのか？
• RQ4 任意の $n$ 次元有理的接続多様体が、$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$-作用を双有理自己同型群に持つならば、$p > R(n)$ のとき有理的であるという明確な閾値 $R(n)$ は何か？
• RQ5 非ジョルダンな双有理自己同型群は、非自明な半アーベル多様体の忠実な作用の存在によって特徴づけられるか？

主な発見

• 次元 $n$ のみに依存する定数 $R(n)$ が存在し、代数閉体の標数0における $n$ 次元有理的接続多様体 $X$ が、$\mathrm{Bir}(X)$ に $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ に同型な部分群を含むならば、$p > R(n)$ のとき $X$ は有理的である。
• 証明は $G$-MMP を実行し、ファノ多様体の有界性を用いて $G$ が最大トーラスに含まれることを示すことで成り立つ。これによりトーリック構造が得られ、結果として有理的性が導かれる。
• 3次元多様体に関しては、$\mathrm{Bir}(X)$ がジョルダンでないための必要十分条件は、$X$ が楕円曲線 $E$ と $E \times^G F$ を用いて $\mathbb{P}^1 \times (E \times^G F)$ に双有理同値であるか、またはアーベル曲面 $A$ を用いて $\mathbb{P}^1 \times A$ に双有理同値である場合に限る。
• $\mathrm{Bir}(X)$ にフル・クレモナ群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ に同型な部分群が存在するならば、$X$ は $k$-有理的である。これはカントゥの結果を一般化する。
• $G$-モリファイブレーションにおける基底と一般ファイバーの有理的性は、帰納法と $p$ が大きい場合の $p$-群ランクの最大性により保証され、これにより全空間が有理的であることが保証される。
• 本稿は、プロホロフとシュラモフの問いに特別な場合において肯定的に答え、非ジョルダンな双有理自己同型群の特徴づけを非自明な半アーベル多様体作用を用いて予想的に与える。