[論文レビュー] Finite p-Irregular Subgroups of PGL(2,k)

Xander Faber|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、任意の正の特性 $p$ を持つ体 $k$ に対して、$\operatorname{PGL}_2(k)$ の有限 $p$-不規則部分群を共役を除いて分類し、クラインとディクソンが開始した古典的プログラムを完成させる。群作用、シローテーレム、ガロアコhomology を用いて、このような部分群が $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$、$\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$、$p$-半単純群、二面体群、または $\mathfrak{A}_5$ に同型であり、共役を除いて一意に定まる明示的な条件を示す。

ABSTRACT

In the late 19th century, Klein inaugurated a program for describing the finite subgroups of $PGL_2(k)$ by treating the case in which the field $k$ is the complex numbers. Gierster and Moore extended Klein's arguments to deal with finite fields. In the past century, additional contributions to this problem were made by Serre, Suzuki, and Beauville, among others. We complete this program by giving a classification of the finite subgroups of $PGL_2(k)$ with order divisible by $p$, up to conjugation, for an arbitrary field $k$ of positive characteristic $p$.

研究の動機と目的

• 正の特性 $p$ を持つ体 $k$ に対して、$\operatorname{PGL}_2(k)$ の有限部分群、特に $p$-不規則部分群（その位数が $p$ で割り切れるもの）の分類を完成させること。
• クライン、ディクソン、セール、ボヴィルが得た古典的結果を拡張し、任意の特性 $p>0$ の体 $k$ に対して包括的かつ自己完結的な分類を提供すること。
• 文献において明示的に分類されていなかった $p$-不規則部分群のケースを解消すること。
• 有理関数の自己同型群を $\mathbb{Q}$ 上で計算するためのアルゴリズム的応用の基盤を提供すること。特に、素数を法として還元することによる応用を想定する。

提案手法

• 代数閉体上での $p$-正規および $p$-不規則部分群の分類に、初等的な群論（シローテーレムおよび $\mathbb{P}^1(k)$ 上の群作用）を用いる。
• トレースおよび行列式の恒等式を用いて、$\operatorname{PGL}_2(k)$ の小順要素を特徴づけ、巡回群および二面体群の分類を可能にする。
• ガロア降下およびコホモロジー的手法を用いて、分離的閉体からの結果を任意の体 $k$ に拡張する。$p$-不規則群に関して関連するコホモロジー集合が自明であることを利用する。
• 群の $\mathbb{P}^1(k)$ 上の作用を分析することで、$p$-半単純部分群を研究し、それが唯一つの $\mathbb{F}_q$-有理点を固定し、特定の乗法的および加法的成分を持つ上三角行列に共役であることを示す。
• 二次形式 $q(x,y,z) = x^2 + yz$ に対して $\operatorname{PGL}_2(k) \cong \mathrm{SO}(k,q)$ が成り立つ偶然の同型を用い、ボヴィルのコホモロジー的アプローチの根拠とする。
• 数論的条件（$\mathbb{F}_q$ 上での条件）を用いて、$\mathfrak{A}_4$、$\mathfrak{S}_4$、$\mathfrak{A}_5$、および $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$、$\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$ の部分群の存在および共役性の条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特性 $p>0$ を持つ体 $k$ に対して、$\operatorname{PGL}_2(k)$ の有限 $p$-不規則部分群の同型型は何か？
• RQ2 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$ や $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$ に同型な $p$-不規則部分群が $\operatorname{PGL}_2(k)$ に存在するための $k$ に関する条件は何か？
• RQ3 このような部分群の共役類はいくつ存在するのか？ そして、それらの共役を除いた一意性を決定するのは何であるか？
• RQ4 $p$-半単純部分群の構造は何か？ 有限体上ではどのようにパrameter化されるか？
• RQ5 $p$-不規則部分群の分類は、素数を法として還元することによって、$\mathbb{Q}$ 上の有理関数の自己同型群を計算するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 有限 $p$-不規則部分群は、$\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$、$\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$、$p$-半単純群、二面体群、または $\mathfrak{A}_5$ に同型であり、それ以外の同型型は存在しない。
• $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$ および $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$ の部分群は、$\mathbb{F}_q \subset k$ である場合に限り $\operatorname{PGL}_2(k)$ に存在し、その共役類は一意に定まる。
• 位数 $2n$（$n$ が奇数）の二面体群で $p=2$ の場合、$q \equiv \pm 1 \pmod{n}$ ならば存在し、共役を除いて一意に定まる。
• 正四面体型（$\mathfrak{A}_4$）および正八面体型（$\mathfrak{S}_4$）の部分群は、$\mathbb{F}_q$ において $-1$ が二つの平方数の和として表せる場合に存在する。$p \neq 2$ のときは常に成立し、$p=2$ の場合は $\mathbb{F}_{2^r}$ に対して $r$ が偶数である必要がある。
• 正二十面体型部分群（$\mathfrak{A}_5$）は、$p \neq 2,5$ のとき $\sqrt{5} \in \mathbb{F}_q$ である場合に限り存在し、$p=2$ のときは $q \equiv \pm 1 \pmod{5}$ である場合に限り存在する。すべての場合で共役を除いて一意に定まる。
• 位数 $p^m n$（$n$ が $p$ と互いに素）の $p$-半単純部分群の共役類は、$\mathbb{F}_q$ の $\mathbb{F}_{p^e}$-部分空間のスケーリング類によってパrameter化される。ここで $e$ は $p$ を法として $n$ の位数であり、$e \mid \gcd(r,m)$ を満たす。