[論文レビュー] Finite part of operator K-theory for groups finitely embeddable into Hilbert space and the degree of non-rigidity of manifolds

Shmuel Weinberger, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間に有限に埋め込める群の最大C*-代数における作用素K理論の有限部について、有限位数の群元と関連するべき等元を用いて下界を確立する。主な結果は、次元 $4k-1$（$k>1$）および $2k-1$（$k>2$）の、有限に埋め込める基本群をもつ多様体に対して、構造群および正のスカラー曲率計量のなすアーベル群のランクの下界が得られることである。

ABSTRACT

In this paper, we study lower bounds on the K-theory of the maximal $C^*$-algebra of a discrete group based on the amount of torsion it contains. We call this the finite part of the operator K-theory and give a lower bound that is valid for a large class of groups, called the "finitely embeddable groups". The class of finitely embeddable groups includes all residually finite groups, amenable groups, Gromov's monster groups, virtually torsion free groups (e.g. $Out(F_n)$), and any group of analytic diffeomorphisms of an analytic connected manifold fixing a given point. It is an open question if every countable group is finitely embeddable. We apply this result to measure the degree of non-rigidity for any compact oriented manifold $M$ with dimension $4k-1$ $(k>1)$. We derive a lower bound on the rank of the structure group $S(M)$ in this case. For a compact Riemannian manifold $M$ with dimension greater than or equal to 5 and positive scalar curvature metric, there is an abelian group $P(M)$ that measures the size of the space of all positive scalar curvature metrics on $M$. We obtain a lower bound on the rank of the abelian group $P(M)$ when the compact smooth spin manifold $M$ has dimension $2k-1$ $(k>2)$ and the fundamental group of $M$ is finitely embeddable.

研究の動機と目的

• 離散群の最大C*-代数における作用素K理論の有限部に対して、概念的で安定した下界を確立すること。
• ヒルベルト空間に有限に埋め込めるという条件を満たす広範な群のクラス（有限に埋め込める群）を同定し、その下界が群の包含に関して安定であることを示すこと。
• K理論の下界を用いて、次元 $4k-1$（$k>1$）のコンパクトな向き付け可能多様体における位相的非剛性の度合いを測ること。
• 次元 $2k-1$（$k>2$）のコンパクトなスピン多様体 $M$ における正のスカラー曲率計量の空間を測るアーベル群 $P(M)$ のランクに対する下界を導出すること。

提案手法

• 非自明な有限位数の元 $g \in G$ に対して $p_g = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^d g^k$ を定義し、$K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ を $K_0(C^*(G))$ のアーベル部分群として、$[p_g]$ で生成されるものとして定義する。
• 群代数上のトレース写像を用いて、有限部分群に由来する $K_0$ 要素を検出することで、群の包含に関して安定性を保証する。
• 粗い埋め込みの一般化として、ヒルベルト空間への有限埋め込みという概念を導入し、残留有限群、アメーヌ群、双曲的群、$\mathrm{Out}(F_n)$ などを含む群のクラスをカバーする。
• $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ に対する下界をアセンブリーマップに適用し、有限位数の元に由来する $K_0$ 要素がアセンブリーマップの像に属さないことを示す。
• $L^2$-インデックス定理とトレースの議論を用いて、アセンブリーマップによる $K$-ホモロジー類の像のトレースをフレドホルムインデックスと関係づける。
• 多様体 $M$ の構造群 $S(M)$ および正のスカラー曲率計量のなす群 $P(M)$ のランクが、$ G_1(M)$ 内の非自明な有限位数元の共役類の数によって下から抑えられることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散群の最大C*-代数における作用素K理論の有限部に対して、安定的で概念的な下界は何か？
• RQ2 どの群のクラスがこのような下界を有し、ヒルベルト空間への有限埋め込みとはどのように関係するか？
• RQ3 このようなK理論の下界を用いて、次元 $4k-1$ のコンパクトな向き付け可能多様体における非剛性の度合いをどのように測定できるか？
• RQ4 次元 $2k-1$ のコンパクトなスピン多様体 $M$ における正のスカラー曲率計量の空間を測るアーベル群 $P(M)$ のランクに対する下界は何か？
• RQ5 有限部 $K_0(C^*(G))$ は、群の包含に関して保存され、かつアセンブリーマップの像に属さない非自明な要素を検出できるか？

主な発見

• 任意の有限に埋め込める群 $G$ に対して、有限部 $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ は、$G$ 内の非自明な有限位数元の共役類の数に等しいランクの部分群を含む。
• $g \in G$ の有限位数元に由来する $K_0$ 要素 $[p_g]$ は、その共役類の数に等しいランクの部分群を生成し、かつアセンブリーマップの像に属さない。
• 次元 $4k-1$（$k>1$）のコンパクトな向き付け可能多様体 $M$ に対して、構造群 $S(M)$ のランクは、$ G_1(M)$ 内の非自明な有限位数元の共役類の数によって下から抑えられる。
• 次元 $2k-1$（$k>2$）のコンパクトな滑らかなスピン多様体 $M$ で、正のスカラー曲率をもち、基本群が有限に埋め込める場合、アーベル群 $P(M)$ のランクは、$ G_1(M)$ 内の非自明な有限位数元の共役類の数によって下から抑えられる。
• $C^*(G)$ 上のトレース $ G$ に対して $ G(\mu[(F,H)]) = \text{index}(F)$ が成り立つ。これは、最大群C*-代数におけるアティヤの $L^2$-インデックス定理の類似を示している。
• 本結果は、残留有限群、アメーヌ群、双曲的群、$\mathrm{Out}(F_n)$、および一点を固定する解析的微分同相群を含む、有限に埋め込める群のすべての群に成立する。