[論文レビュー] Finite quotients of powers of an elliptic curve

Alexandru Chirvăsitu, Ryo Kanda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線 $E$ の $g$ 重積 $E^g$ に作用する、隣接互換によって生成される対称群 $\Sigma_{g+1}$ の部分群 $\Sigma$ による商多様体 $E^g / \Sigma$ が、$E$ のコピーと射影空間の積によるエタール被覆をもち、そのガロア群がアーベル群であることを確立する。主な結果は、$\Sigma$ の固定点および軌道構造を用いてこの被覆を明示的に記述することであり、既知の対称冪に関する結果を一般化し、楕円代数における特徴的多様体を理解するための幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve. When the symmetric group $Σ_{g+1}$ of order $(g+1)!$ acts on $E^{g+1}$ in the natural way, the subgroup $E_0^{g+1}$, consisting of those $(g+1)$-tuples whose coordinates sum to zero, is stable under the action of $Σ_{g+1}$. It is isomorphic to $E^g$. This paper concerns the structure of the quotient variety $E^g/Σ$ when $Σ$ is a subgroup of $Σ_{g+1}$ generated by simple transpositions. In an earlier paper we observed that $E^g/Σ$ is a bundle over a suitable power, $E^N$, with fibers that are products of projective spaces. This paper shows that $E^g/Σ$ has an étale cover by a product of copies of $E$ and projective spaces with an abelian Galois group.

研究の動機と目的

• 商多様体 $E^g / \Sigma$ の幾何的構造を特定すること。ここで $\Sigma$ は $\Sigma_{g+1}$ の部分群であり、隣接互換によって生成され、$E^{g+1}_0$ における自然な作用で $E^g$ に作用する。
• ガロア群がアーベル群である明示的なエタール被覆を $E^g / \Sigma$ に構成すること。特に、底体の標数が軌道サイズの積を割り切らない場合に注目する。
• $E^g / \Sigma$ の平行移動自己同型をそのエタール被覆に持ち上げることで、楕円代数の表現論に現れる対称性の幾何的実現を提供すること。
• フェイジン＝オデスキーの楕円代数 $Q_{n,k}(E,\tau)$ の特徴的多様体の研究から生じる幾何的問題を解決し、これらの多様体がこのような商と同型であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、標準的埋め込み $\varepsilon$ を用いて、$E^g$ を $E^{g+1}$ のゼロ和をとる部分群 $E_0^{g+1}$ と同一視し、$\Sigma_{g+1}$ の部分群 $\Sigma$（隣接互換によって生成）の作用を分析する。
• インデックス集合 $\{1,\dots,g+1\}$ を固定点 $J$ と、サイズ $i_1,\dots,i_s$ の $\Sigma$-軌道 $I_1,\dots,I_s$ に分解し、$d = \gcd(i_1,\dots,i_s)$ を定義する。
• エタール被覆は、$E^{|J|+s-1}$（$J=\varnothing$ の場合は $E^{s-1}$）と射影空間の積 $\mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1}$ とのファイバー積として構成され、ガロア群として $E[i_1] \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} \cdots \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} E[i_s]$ を用いる。
• この構成は、対称冪 $S^{i_\alpha}E$ へのエタール被覆 $E \times \mathbb{P}^{i_\alpha-1} \to S^{i_\alpha}E$（ガロア群 $E[i_\alpha]$）を用いて作用を上げ、和写像の核を通じて全商に拡張する。
• $J=\varnothing$ の場合、ガロア群は $E[i_1] \times \cdots \times E[i_s]$ から $E[d]$ への写像 $\sum \frac{i_\alpha}{d} z_\alpha$ の核として定義され、ゼロ和条件と整合性を持つ。
• 自己同型の持ち上げは、平行移動ベクトルを固定部分空間と軌道部分空間に分解し、その成分を被覆上に明示的に持ち上げることで達成され、群作用と整合性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標数が $i_1 \cdots i_s$ を割り切らない代数閉体上、$\Sigma$ が隣接互換によって生成される $\Sigma_{g+1}$ の部分群であるとき、$E^g / \Sigma$ の構造はどのように特定できるか？
• RQ2 ガロア群がアーベル群であるような $E^g / \Sigma$ のエタール被覆を構成できるか？ もしそうなら、その幾何的および群論的記述は何か？
• RQ3 $\Sigma$ と可換な $E^g$ 上の平行移動によって誘導される $E^g / \Sigma$ の自己同型は、エタール被覆にどのように持ち上げられるか？
• RQ4 $d = \gcd(i_1,\dots,i_s)$ は、エタール被覆のガロア群を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 商多様体の構造は、フェイジン＝オデスキーの楕円代数 $Q_{n,k}(E,\tau)$ の特徴的多様体とどのように関係するか？

主な発見

• $J \neq \varnothing$ のとき、商 $E^g / \Sigma$ はガロア群 $E[i_1] \times \cdots \times E[i_s]$ を持つエタール被覆 $\Psi: E^{|J|+s-1} \times \mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1} \to E^g / \Sigma$ をもつ。
• $J = \varnothing$ のとき、エタール被覆は $\Psi: E^{s-1} \times \mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1} \to E^g / \Sigma$ であり、ガロア群は $E[i_1] \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} \cdots \mathbin{\scalebox{1.5}{\scalebox{0.8}{$\ast$}}} E[i_s]$ であり、これは $\sum \frac{i_\alpha}{d} z_\alpha$ による $E[d]$ への写像の核として定義される。
• エタール被覆は、$E^{|J|+s-1}$ 上のバンドル構造と、ファイバー $\mathbb{P}^{i_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{i_s-1}$ を持つ $E^g / \Sigma$ と整合する。これは先行研究で確立されている。
• $\Sigma$-不変な点 $\mathbf{t} \in E^{g+1}$ によって誘導される $E^g / \Sigma$ の平行移動自己同型は、エタール被覆に持ち上がり、ガロア群作用を保存する。
• この構成により、フェイジン＝オデスキー代数 $Q_{n,k}(E,\tau)$ の特徴的多様体が $E^g / \Sigma$ として幾何的に実現され、長年の構造に関する未解決問題が解決される。
• 結果は、$i_1 \cdots i_s$ を割り切らない標数の代数閉体 $\Bbbk$ 上で成り立ち、被覆のエタール性および関連写像の可逆性が保証される。