[論文レビュー] Finite size scaling bounds on many-body localized phase transitions

Anushya Chandran, Chris R. Laumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 1被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、多体局在系における固有状態相転移の普遍的な有限サイズスケーリング境界を導出し、$d$次元においてエンタングルメントエントロピーとレベル統計比がハリス型の境界に従うことが示された。相関長指数 $ u \geq 2/d$ が成り立つ。この結果は数値的解析を制約し、小さな系における境界の見かけ上の違反は、スケーリング仮説を越えた真の物理的現象ではなく、有限サイズ効果に起因する可能性が高いことを示している。

ABSTRACT

Quantum phase transitions are usually observed in ground states of correlated systems. Remarkably, eigenstate phase transitions can also occur at finite energy density in disordered, isolated quantum systems. Such transitions fall outside the framework of statistical mechanics as they involve the breakdown of ergodicity. Here, we consider what general constraints can be imposed on the nature of eigenstate transitions due to the presence of disorder. We derive Harris-type bounds on the finite-size scaling exponents of the mean entanglement entropy and level statistics at the many-body localization phase transition using several different arguments. Our results are at odds with recent small-size numerics, for which we estimate the crossover scales beyond which the Harris bound must hold.

研究の動機と目的

• 無秩序量子系における固有状態相転移における有限サイズスケーリング行動に関する一般的制約を確立すること。
• 詳細な確率分布に依存しない、エンタングルメントエントロピーおよびレベル統計比のスケーリング指数に関する普遍的境界を導出すること。
• 最近の小さな系における数値的解析とハリス境界との乖離を、境界が破られる場合に観測されるスケールの変化点を推定することで解消すること。
• 特に、標準的な無秩序に基づく議論が失敗する一次元においても、有限サイズスケーリングを解釈するための厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 有限サイズスケーリング下での有界かつ非負の順序パラメータの平均のスケーリングに関する一般的補題を導出する。
• 多体局在転移における平均エンタングルメントエントロピー密度 $[s]$ および平均レベル統計比 $[r]$ にその補題を適用する。
• 補題を用いて、中心極限定理や空間的構造に関する仮定に依存せずに $\nu \geq 2/d$ が成り立つことを証明する。
• ハリス境界が破られる場合に、観測されたスケーリング形が成立できないようになるクロスオーバー系サイズ $L^*$ を推定する。
• 数値的解析におけるボックス型無秩序分布を正規分布に置き換えることで $L^*$ を推定し、$L^* \approx 500-5000$ を得る。
• 境界をエンタングルメントエントロピーの分散などの高次モーメントや、局在相内での転移へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心極限定理や空間的構造に依存せずに、固有状態相転移における普遍的な有限サイズスケーリング境界を導出できるか？
• RQ2 なぜ最近の小さな系における数値的解析では、ハリス境界 $\nu \geq 2/d$ を破るスケーリング指数が報告されるのか？
• RQ3 観測されたスケーリング形がハリス境界と整合しなくなる最小の系サイズ $L^*$ は何か？
• RQ4 同じスケーリング境界が、空間的順序パラメータでないレベル統計比 $[r]$ に対しても適用可能か？
• RQ5 これらの境界は、擬似空間レノルマリゼーショングループの研究や一次相転移のシナリオにどのように制約を加えるか？

主な発見

• 多体局在から熱的状態（ETH）への転移における相関長指数は、任意の空間次元 $d$ に対して $\nu \geq 2/d$ を満たす。中心極限定理を仮定しないで導出された。
• この境界は、一次元においても標準的な無秩序的議論が失敗する状況においても、平均エンタングルメントエントロピー密度 $[s]$ および平均レベル統計比 $[r]$ に普遍的に適用可能である。
• 小さな系（$L \lesssim 500$）におけるハリス境界の数値的違反は、有限サイズ効果に起因する可能性が高く、境界が成立しなくなるクロスオーバー系サイズ $L^* \approx 500-5000$ が存在する。
• 導出された境界は無秩序分布の選択に強く依存せず、エンタングルメントエントロピーの分散などの高次モーメントに対しても適用可能である。
• 一次相転移に対しても境界は成立し、有限サイズスケーリング長が依然として $\nu \geq 2/d$ を満たす。
• これらの結果は、現象的モデルや数値的解析に厳密な制約を加え、小さな系で観測されたスケーリング指数が系サイズの増大に伴い境界に近づく可能性を示唆している。