[論文レビュー] Finite size scaling for homogeneous pinning models

Julien Sohier|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、均一ピンニングモデルにおける有限サイズスケーリングの厳密な数学的枠組みを確立し、臨界に近い領域において、スケーリングされた再生過程が安定サブディレクターに従う極限過程へと弱収束することを示している。主な結果は、相関長が発散する際の系のゼロレベル集合のスケーリング極限を同定したもので、カップリングおよび一様可積分性の議論により明示的な収束速度が得られている。

ABSTRACT

Pinning models are built from discrete renewal sequences by rewarding (or penalizing) the trajectories according to their number of renewal epochs up to time $N$, and $N$ is then sent to infinity. They are statistical mechanics models to which a lot of attention has been paid both because they are very relevant for applications and because of their {\sl exactly solvable character}, while displaying a non-trivial phase transition (in fact, a localization transition). The order of the transition depends on the tail of the inter-arrival law of the underlying renewal and the transition is continuous when such a tail is sufficiently heavy: this is the case on which we will focus. The main purpose of this work is to give a mathematical treatment of the {\sl finite size scaling limit} of pinning models, namely studying the limit (in law) of the process close to criticality when the system size is proportional to the correlation length.

研究の動機と目的

• 臨界遷移付近における均一ピンニングモデルの有限サイズスケーリングに対する数学的厳密な取り扱いを提供すること。
• 系のサイズが相関長に比例する臨界に近い領域において、再生過程のスケーリング極限を特徴づけること。
• ピンニングモデルのスケーリングされたゼロレベル集合の弱収束が、安定サブディレクターを含む極限過程へと成立することを確立すること。
• 臨界に近い領域における系のサイズ、逆温度、および相関長の間の明示的なスケーリング関係を導出すること。
• 重尾を持つ到着間隔を有する可解な、正確に可解なモデルにおいて、物理的有限サイズスケーリング仮説を検証すること。

提案手法

• 重尾を持つ到着間隔 $\mathbf{P}(\tau_{i+1}-\tau_i = k) \sim C/k^{1+\alpha}$ を有する離散再生過程（$\alpha \in (0,1)$）を、確率的構造として採用する。
• ピンニングモデルを、$N$ 時刻までの再生刻刻の数に基づいて重み付けされるギブス測度 $\mathbf{P}_{N,\beta}$ として定義し、$\beta$ がピンニングの強さを制御する。
• 相関長 $\xi(\beta) = 1/F(\beta)$ を定義し、$F(\beta)$ を単位サイトあたりの自由エネルギーとして、$\beta \downarrow \beta_c$ のとき $\xi(\beta) \sim c_\alpha (\beta - \beta_c)^{-1/\alpha}$ であることを示す。
• 有限サイズスケーリングの仮説を適用し、$\beta = \beta_c + \varepsilon / b_N$ と設定し、$b_N \sim N^{\alpha}$ となるようにすることで、系のサイズ $N$ と相関長 $\xi(\beta)$ が同じスケールに一致するようにする。
• 弱収束の技法と一様可積分性（補題2を用いて）を用い、スケーリングされた再生過程 $\tau_{(N)}$ が $\alpha$-安定サブディレクターによって駆動される極限過程 $\mathcal{A}_\alpha$ へと弱収束することを証明する。
• カップリングの議論とコンパクトネスを用いて、特に $t=1$ の境界付近における過程の振る舞いを制御し、分配関数比の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系のサイズ $N$ が臨界に近い領域における相関長 $\xi(\beta)$ に比例するとき、ピンニングモデルの有限サイズスケーリング極限はどのように振る舞うか？
• RQ2 系のサイズが $N$ で、$\beta = \beta_c + \varepsilon / b_N$（$b_N \sim N^\alpha$）に調整されたとき、ギブス測度 $\mathbf{P}_{N,\beta}$ の下でスケーリングされた再生過程 $\tau_{(N)}$ の極限分布は何か？
• RQ3 カップリングおよび一様可積分性を用いて、ピンニングモデルのゼロレベル集合の極限過程が安定サブディレクターを含むものへと厳密に収束することを示せるか？
• RQ4 分配関数比 $Z_{N,\beta_c + \varepsilon / b_N} / Z_{N,\beta_c}$ は $N \to \infty$ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ5 再生集合の最大値 $\max \tau_{(N)}$ は、有限サイズスケーリング極限において果たす役割は何か？また、極限測度への収束にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 有限サイズスケーリング仮説の下で、$N \to \infty$ のとき、スケーリングされた再生過程 $\tau_{(N)}$ は、$\alpha$-安定サブディレクターによって駆動される極限過程 $\mathcal{A}_\alpha$ へと弱収束する。
• 基礎となる再生過程が再帰的（$\beta_c = 0$）である場合と、$K(\infty) > 0$ を満たす非再帰的ケースの両方において、収束が成立し、明示的な補正項が得られる。
• 有限サイズスケーリング極限は、同時分布 $\left(\tau_{(N)}, \frac{|\tau_{(N)}|}{b_N}\right)$ が $\left(\mathcal{A}_\alpha, L_1^{(\alpha)}\right)$ へ収束することによって特徴づけられる。ここで $L_1^{(\alpha)}$ は、$\alpha$-安定サブディレクターの時間1における局所時刻である。
• 分配関数比は、$N \to \infty$ のとき、$\frac{Z_{N,\beta_c + \varepsilon / b_N}}{Z_{N,\beta_c}} \to \mathbf{E}\left[ e^{\varepsilon L_1^{(\alpha)}} \frac{\alpha \pi}{\sin(\alpha \pi)} (1 - \max \mathcal{A}_\alpha)^\alpha \right]$ を満たす。
• 収束はコンパクト集合上で一様であり、$e^{\varepsilon |\tau_{(N)}| / b_N}$ の一様可積分性に依存しており、これはカップリングの議論とモーメントの上限によって確立される。
• 過程の極限分布は、安定サブディレクターと再生集合の境界挙動によって完全に特徴づけられ、$\max \mathcal{A}_\alpha < 1$ はほとんど確実に成立する。