[論文レビュー] Finite-strain Bloch wave propagation by the transfer matrix method

Mahmoud I. Hussein, Romik Khajehtourian+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2014

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 54被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、1次元フォノニック結晶における有限ひずみBloch波の伝播をモデル化するための解析的枠組みを、伝達行列法を用いて開発した。層レベルでの正確な有限ひずみ分散を組み込み、周期的媒体のバンド構造を近似している。主な結果は、波の振幅B/a = 0.125における非線形波面の急峻化と周期的分散の間の実用的バランスを示す振幅依存性を持つ弾性バンド構造であり、これは単位セルサイズの3倍程度の波長でさえも観察可能である。

ABSTRACT

The introduction of nonlinearity alters the dispersion of elastic waves in solid media. In this paper, we present an analytical formulation for the treatment of finite-strain Bloch waves in one-dimensional phononic crystals. Considering longitudinal waves, the exact dispersion relation in each homogeneous layer is first obtained and subsequently used within the transfer matrix method to derive an approximate dispersion relation for the overall periodic medium. The result is an amplitude-dependent elastic band structure that may be used to elucidate the interplay between the waveform steepening and spreading effects that emerge due to the nonlinearity and periodicity, respectively. For example, for a wave amplitude on the order of one eighth of the unit-cell size in a demonstrative structure, the two effects are practically in balance for wavelengths as small as roughly three times the unit-cell size.

研究の動機と目的

• 周期的弾性媒体における有限ひずみBloch波伝播をモデル化する解析的手法の開発。
• 弾性波伝播における非線形性に起因する波形の急峻化と周期性に起因する分散の間の相互作用の定量的評価。
• 有限ひずみと周期性の両方の効果を捉えた振幅依存性分散関係の導出。
• 非線形効果と分散効果がバランスを成す条件の特定、これはソリトン的挙動の可能性を示唆する。

提案手法

• グリーン＝ラグラANGESひずみ測度を用いて、各均質層に対して正確な有限ひずみ分散関係を導出する。
• 単位セルに伝達行列法を適用し、線形ひずみ-変位勾配を仮定することで、全体の周期的媒体の分散を近似する。
• 正確な層レベルの非線形運動論と、近似的な全体の周期性処理を組み合わせた手法。
• 得られた分散関係は周波数および波数に依存し、有限ひずみに起因する明示的な振幅依存性を有する。
• この手法により、有限ひずみ条件下での位相速度および群速度曲線の計算が可能となる。
• 群速度曲線を均質化された媒体の極限と比較することで手法の妥当性を検証し、最大群速度の差を用いて精度を評価。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ひずみが1次元フォノニック結晶におけるBloch波の分散特性にどのように影響するか？
• RQ2 有限ひずみ媒体において、非線形波面の急峻化と周期的分散がどれほど互いに相殺し合うか？
• RQ3 波形の進化における非線形性と周期性の実用的バランスを実現するための波の振幅および波数範囲は何か？
• RQ4 線形化ひずみ仮定の下で伝達行列法が、周期的媒体における真の有限ひずみ分散をどの程度正確に近似できるか？
• RQ5 グリーン＝ラグラANGESひずみ測度が、得られた振幅依存性バンド構造に果たす役割は何か？

主な発見

• 波の振幅B/a = 0.125のとき、非線形的急峻化と周期的分散の効果は、波数κ = 5π/8までおおよそバランスを成しており、これは単位セルサイズの約3倍の波長に対応する。
• 有限ひずみバンド構造は、線形微小ひずみケースと比較して超音速の位相速度および群速度を示し、特に群速度は均質化された媒体の値を上回る。
• フォノニック結晶の最大群速度は、均質化された媒体の値を上回っており、これは伝達行列法における線形近似が測定可能な誤差を引き起こしていることを示しており、これらの曲線の差（ギャップ）によってその誤差が定量化されている。
• 非線形性に起因する波形の伸長は、モード形状のスナップショットで視覚的に観察可能であり、特に透過帯領域では、周波数を固定した状態で長波長の波が出現する。
• 停止帯領域では、非線形性が空間的減衰を強化しており、同じ周波数における減衰定数の増加と一貫している。
• この手法により、特定の振幅および波数条件下でソリトン的挙動が出現する可能性が明らかになった。特に、非線形効果と分散効果が互いに相殺する場合に顕著である。