[論文レビュー] Finite subgraphs of uncountably chromatic graphs

Péter Komjáth, Saharon Shelah|ArXiv.org|Dec 4, 2002

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可算彩色数を持つグラフの有限部分グラフの彩色数の成長が任意に遅いものとなるような、非可算彩色数を持つグラフの一貫性を確立し、エドősの250ドルの問題を解決している。また、集合論のいくつかのモデルにおいてテイラー予想が成立しない可能性があることを示し、一方で、与えられた非可算彩色数を持つグラフの誘導部分グラフである有限部分グラフを持つ、任意に大きな彩色数を持つグラフの存在を証明している。

ABSTRACT

It is consistent that for every monotonically increasing function f:omega->omega there is a graph with size and chromatic number aleph_1 in which every n-chromatic subgraph has at least f(n) elements (n >= 3). This solves a $250 problem of Erdos. It is also consistent that there is a graph X with Chr(X)=|X|= aleph_1 such that if Y is a graph all whose finite subgraphs occur in X then Chr(Y)<=aleph_2 (so the Taylor conjecture may fail).

研究の動機と目的

• 非可算彩色数を持つグラフの有限部分グラフにおける彩色数の成長が遅いという、エドősによる長年の予想を解決すること。
• すべての非可算彩色数を持つグラフが、シフトグラフのすべての有限部分グラフを含むかどうか、構造的グラフ理論における重要な問いを調査すること。
• テイラー予想の一致性を特定すること。テイラー予想とは、すべての非可算彩色数を持つグラフが、任意の他の非可算彩色数を持つグラフのすべての有限部分グラフを生成できるという仮説である。
• 特に、特定の基数制約を満たす集合論のモデルにおける、グラフの彩色数とその有限部分グラフの彩色数との関係を調査すること。
• 固定された非可算彩色数を持つグラフの誘導部分グラフである有限部分グラフを持つ、任意に大きな彩色数を持つグラフの存在を調査すること。

提案手法

• 強制拡大、特に積強制 $P \ast Q^f$ を用いて、彩色数 $\aleph_1$ を持つグラフの有限部分グラフの彩色数が任意にゆっくり成長するモデルを構成する。
• ハフ数の議論と、強制拡大において有限部分グラフの彩色数が絶対的であるという事実を用いて、部分グラフにおける彩色数の成長を制御する。
• ラド選択原理（またはコンパクト性定理）を用いて、すべての誘導部分グラフが特定の基本グラフ $X$ の誘導部分グラフのまま保たれるようにグラフを拡張する。
• 無限大の基数を $\aleph_0$ に縮小するためのコラプス強制 $\text{Col}(\omega, \kappa)$ を用いて、一般化拡大における彩色数の制御を可能にする。
• 一般化拡大内の任意のグラフが、$|P \ast Q^f| = \aleph_1$ 個の、それぞれが有限彩色可能な部分グラフの和集合として表せることを活用し、得られるグラフの彩色数を上界で制御する。
• 各有限部分集合に対して適切な上位グラフを有限個用いることで、$Z$ と同じ頂点集合を持つグラフ $Z'$ を構成し、$Z'$ のすべての誘導部分グラフが $X$ の誘導部分グラフであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の関数 $f: \omega \to \omega$ に対して、$|X| = \text{Chr}(X) = \aleph_1$ を満たすグラフ $X$ が存在し、すべての $n$-彩色部分グラフが少なくとも $f(n)$ 個の頂点を持つことの一致性は保証されるか？
• RQ2 テイラー予想（任意の非可算彩色数を持つグラフが、任意の他の非可算彩色数を持つグラフのすべての有限部分グラフを生成できる）が、一貫して偽である可能性はあるか？
• RQ3 任意のグラフ $X$ に対して $\text{Chr}(X) \geq \aleph_2$ ならば、すべての有限部分グラフが $X$ の誘導部分グラフであるような、任意に大きな彩色数を持つグラフ $Y$ が存在する一貫性は保証されるか？
• RQ4 すべての彩色数が少なくともその基数に等しいグラフが、その有限部分グラフを通じて任意に大きな彩色数を持つグラフを生成するという性質を満たす最小のハフ数は何か？
• RQ5 与えられた関数 $f$ よりもさらにゆっくり成長する、非可算彩色数を持つグラフの有限部分グラフにおける彩色数の成長を、任意に遅くできるのか？

主な発見

• 任意の単調増加関数 $f: \omega \to \omega$ に対して、$|X| = \text{Chr}(X) = \aleph_1$ を満たすグラフ $X$ が存在し、$n \geq 3$ に対してすべての $n$-彩色部分グラフが少なくとも $f(n)$ 個の頂点を持つことの一致性が保証される。
• 彩色数 $\text{Chr}(X) = |X| = \aleph_1$ を満たすグラフ $X$ が存在し、すべての有限部分グラフが $X$ に現れるようなグラフ $Y$ に対して $\text{Chr}(Y) \leq \aleph_2$ となることの一致性が保証される。これは、テイラー予想に対する一貫的な否定的解答を提供する。
• 任意のグラフ $X$ に対して $\text{Chr}(X) \geq \aleph_2$ ならば、任意の基数 $\lambda$ に対して、すべての有限部分グラフが $X$ の誘導部分グラフであるようなグラフ $Y$ が存在し、$\text{Chr}(Y) \geq \lambda$ となることの一致性が保証される。
• 強制拡大で構成されたグラフ $Y$ の彩色数は $\aleph_2$ で上界が与えられる。なぜなら、$Y$ が $\aleph_1$ 個の、それぞれが有限彩色可能な部分グラフの和集合として表せるからである。
• すべての彩色数が少なくとも $\kappa$ に等しいグラフが、その有限部分グラフを通じて任意に大きな彩色数を持つグラフを生成するという性質を満たすハフ数は、あるモデルでは $\aleph_2$ 以下である。
• すべての誘導部分グラフが $X$ の誘導部分グラフであるようなグラフ $Z'$ を、ラド選択原理を用いて構成できることを示し、これにより誘導部分グラフ制約を満たす高彩色数グラフの構築が可能になる。