[論文レビュー] Finite subgroups of extended Morava stabilizer groups

Cédric Bujard|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、コhomology的技法とp進体上の除法代数を用いて、拡張モラバ安定化子群 $Γ_n(u)$ の有限部分群を共役を除いて分類する。特に $p > 2$ および $p = 2$ の場合について、$Γ_n(u)$ の最大アーベル有限部分群の拡張の存在に関する必要十分条件を確立し、コhomology的障害および群の拡張の観点から完全な分類を提供する。

ABSTRACT

The problem addressed is the classification up to conjugation of the finite subgroups of the (classical) Morava stabilizer group S_n and the extended Morava stabilizer group G_n(u) associated to a formal group law F of height n over the field F_p of p elements. A complete classification in S_n is provided for any n and p. Furthermore, we show that the classification in the extended group also depends on F and its associated unit u in the ring of p-adic integers. We provide a theoretical framework for the classification in G_n(u), we give necessary and sufficient conditions on n, p and u for the existence in G_n(u) of extensions of maximal finite subgroups of S_n by the Galois group Gal(F_{p^n}/F_p), and whenever such extension exist we enumerate their conjugacy classes. We illustrate our methods by providing a complete and explicit classification in the case n=2.

研究の動機と目的

• 拡張モラバ安定化子群 $Γ_n(u)$ のすべての有限部分群を共役を除いて分類すること。
• $Γ_n(u)$ の最大アーベル有限部分群の拡張の存在に関する、$n$, $p$, および $u$ に対する必要十分条件を特定すること。
• ガロア群が $Γ_n$ に作用する仕組みを用いて、$Γ_n(u)$ 内の有限部分群の構造を分析すること。
• 群の拡張の鎖を用いたコhomology的分類を通じて、$Γ_n(u)$ 内の有限部分群を分類すること。
• 特に $p=2$ の場合に、四元数群 $Q_8$ を含む最大有限部分群を研究すること。

提案手法

• $Δ_n$ を $\mathbb{Q}_p$ 上のインデックス $1/n$ の中心的除法代数とするとき、$Γ_n(u) \to Δ_n^\times / \langle pu \rangle$ という同型を用いる。
• 特に群コhomologyを用いて、$Γ_n$ の有限部分群の拡張を分類するためのコhomology的技法を適用する。
• 局所体上の除法代数の構造およびその単位群を用いて、有限部分群を分析する。
• コhomology的枠組みにおいて、有限部分群と特定の拡張の鎖の間の標準的双対性を用いる。
• 局所クラス体理論およびブラウアー群論を用いて、$Δ_n^\times$ 及びその商の構造を研究する。
• フロベニウス元 $\xi_F$ による共役を通じて、ガロア群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}/n$ が $Γ_n$ に作用する様子を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $n$, $p$, および $u$ に対して、$Γ_n(u)$ の有限部分群 $F$ が、最大アーベル有限部分群 $G \subset Γ_n$ を含む分裂拡張 $1 \to G \to F \to \mathbb{Z}/n \to 1$ を持つか？
• RQ2 コhomology的不変量を用いて、$Γ_n(u)$ の有限部分群を共役を除いて分類する方法は何か？
• RQ3 有限部分群が四元数的 Sylow 2-部分群を含む条件は何か？
• RQ4 奇数の $p$ および $p=2$ の場合に、$Γ_n(u)$ の有限部分群の $p$-部の振る舞いはどのようにか？
• RQ5 $n=2$ の場合に、$Γ_n(u)$ の最大有限部分群の構造は何か？

主な発見

• $Γ_n(u)$ の有限部分群は、拡張の鎖を含むコhomology的分類スキームを用いて共役を除いて分類される。
• $p > 2$ の場合、$Γ_n$ の最大アーベル有限部分群の $Γ_n(u)$ 内での拡張の存在は、$H^2(\mathbb{Z}/n, G)$ における消滅条件と同値である。ここで $G$ は最大アーベル部分群である。
• $p = 2$ の場合、分類には $Q_8$ が Sylow 2-部分群として存在することと、$Γ_n(u)$ 内の群の 2-部の構造が関与する。
• 本論文は、$Γ_n(u)$ の有限部分群の共役類と、タイプ I, II, III の拡張を含む特定のコhomology的データとの間の標準的双対性を確立した。
• $n=2$ の場合、本論文は $Γ_2(u)$ の最大有限部分群を明示的に計算し、$u$ の値に応じて $O_{48}$ または $SD_{16}$ に同型であることを示した。
• $Γ_n(u)$ の構造が $\u0394_n^\times / \langle pu \rangle$ であることから、$\u0394_n$ の付値および単位群の構造を用いて、有限部分群を正確に記述できる。