[論文レビュー] Finite subgroups of PGL(2,K)

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Sep 22, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、群の位数が体 K の標数と互いに素であるような体 K に対して、PGL₂(K) の有限部分群を共軛類ごとに分類する。ガロアコhomology を用いて、巡回群、二面体群、および交代群（A₄、S₄、A₅）の実現に関する明示的条件を提示し、(Z/2Z)² および Dᵣ の共軛類を完全に記述する。その際、コhomology 不変量と根データへのガロア作用を用いる。

ABSTRACT

We classify, up to conjugacy, the finite subgroups of PGL(2,K) of order prime to char(K).

研究の動機と目的

• 群の位数が char(K) と互いに素であるとき、PGL₂(K) のすべての有限部分群を共軛類ごとに分類すること。
• Z/rZ、Dᵣ、A₄、S₄、A₅ などの古典的有限部分群が、任意の体 K に対して PGL₂(K) に埋め込まれる条件を特定すること。
• ガロアコhomology とガロア降下を用いて、このような部分群のすべての共転類を記述すること。
• (Z/2Z)² の場合における第二ガロアコhomology の役割を明確にし、以前の研究における疑問を解決すること。

提案手法

• 非可換ガロアコhomology を適用し、G(K) への有限群 H の埋め込みを G(K)-共軛類ごとに分類する。
• K³ 上の二次形式 q に対して PGL₂(K) ≅ SO(K, q) という同型を用い、群作用と二次形式を関連付ける。
• 共軛類の分類を、H が G(Kₛ) 内で中心化する部分群 Z に対して H¹(K, Z) → H¹(K, G) の核の計算に還元する。
• (Z/2Z)² の場合、Hilbert記号 (α, β)₂ = 0 を満たす (K*/K*²)² 内の対 (α, β) を用いて共軛類をパラメトライズする。
• PGL₂(Kₛ) 内の H の正規化群 N がコhomology類に作用する様子を分析し、異なる共軛類を特定する。
• 例えば、z ↦ (λ+1)z−1 / z+1 といった有理ホモグラフィーを明示的に構成し、部分群の実現を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K が標数が群の位数と互いに素である任意の体であるとき、PGL₂(K) の有限部分群として現れるものは何か？
• RQ2 PGL₂(K) 内の各有限部分群（例えば (Z/2Z)²、Dᵣ、A₅）の共軛類はいくつ存在し、どのようにパラメトライズされるか？
• RQ3 ガロアコhomology は、特に (Z/2Z)² の場合に、これらの共転類を分類するために果たす役割は何か？
• RQ4 A₅ が PGL₂(K) に埋め込まれるための体論的条件は何か？
• RQ5 正規化群のコhomology類への作用が、異なる共転類の数をどのように決定するか？

主な発見

• char(K) と互いに素な位数の PGL₂(K) の有限部分群は、Z/rZ、Dᵣ、A₄、S₄、A₅ に同型である。
• Z/rZ が PGL₂(K) に埋め込まれるための必要十分条件は、K が原始 r 次単位根 ζ に対して ζ + ζ⁻¹ を含むことである。
• A₄ および S₄ が PGL₂(K) に埋め込まれるための必要十分条件は、K において −1 が二つの平方数の和として表せることである。
• A₅ が PGL₂(K) に埋め込まれるための必要十分条件は、K において −1 が二つの平方数の和であり、かつ 5 が平方数であることである。
• (Z/2Z)² の PGL₂(K) 内の共軛類は、K*/K*² の部分群 G で、|G| ≤ 4 かつすべての α, β ∈ G に対して (−α, −β)₂ = 0 を満たすものによってパラメトライズされる。
• Dᵣ の共軛類は H¹(K, Z/2Z) によってパラメトライズされ、正規化群の作用によりパrameter が η² で乗じられる（η は原始 2r 次単位根）。