[論文レビュー] Finite symmetric graphs with two-arc transitive quotients III

Guangjun Xu, Sanming Zhou|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Finite Group Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限対称グラフ $Γ$ の商グラフ $Γ_{\mathcal{B}}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるための必要十分条件を、ブロックサイズ $v - k = p$ が奇素数 $p$ である場合に確立する。ここで $v$ はブロックサイズ、$k$ は隣接ブロック内の隣接頂点数を表す。$p = 3$ または $5$ の場合、これらの条件は本質的に十分であり、グラフ・ブロック構造から誘導される 2 点推移的ブロックデザインに依存している。

ABSTRACT

A graph $\Ga$ is $G$-symmetric if $\Ga$ admits $G$ as a group of automorphisms acting transitively on the set of vertices and the set of arcs of $\Ga$, where an arc is an ordered pair of adjacent vertices. In the case when $G$ is imprimitive on $V(\Ga)$, namely when $V(\Ga)$ admits a nontrivial $G$-invariant partition $\BB$, the quotient graph $\Ga_{\BB}$ of $\Ga$ with respect to $\BB$ is always $G$-symmetric and sometimes even $(G, 2)$-arc transitive. (A $G$-symmetric graph is $(G, 2)$-arc transitive if $G$ is transitive on the set of oriented paths of length two.) In this paper we obtain necessary conditions for $\Ga_{\BB}$ to be $(G, 2)$-arc transitive (regardless of whether $\Ga$ is $(G, 2)$-arc transitive) in the case when $v-k$ is an odd prime $p$, where $v$ is the block size of $\BB$ and $k$ is the number of vertices in a block having neighbours in a fixed adjacent block. These conditions are given in terms of $v, k$ and two other parameters with respect to $(\Ga, \BB)$ together with a certain 2-point transitive block design induced by $(\Ga, \BB)$. We prove further that if $p=3$ or $5$ then these necessary conditions are essentially sufficient for $\Ga_{\BB}$ to be $(G, 2)$-arc transitive.

研究の動機と目的

• ブロックサイズの差 $v - k = p$ が奇素数であるとき、$\Ga_{\BB}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるための必要条件を特定すること。
• 非自明な $G$-不変分割 $\BB$ を通じて、$G$ の $V(\Ga)$ における非可約性が引き起こす構造的制約を分析すること。
• $(\Ga, \BB)$ のペアから誘導される 2 点推移的ブロックデザインが、商グラフの 2-弧推移性を決定する役割を調査すること。
• $p = 3$ および $p = 5$ の場合に、導出された条件の十分性を確立し、これらのケースにおける分類を完了すること。

提案手法

• $G$ の頂点集合および $\Ga$ の弧に対する作用を分析し、$G$-不変分割 $\BB$ によって誘導される商グラフ $\Ga_{\BB}$ に注目する。
• $\BB$ のブロック間の隣接構造から導出される 2 点推移的ブロックデザインを導入し、その性質を研究する。
• $v$, $k$ およびブロック構造に関連する追加の 2 つのパラメータを用いて、$\Ga_{\BB}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるための必要条件を定式化する。
• 組合せ論的および群論的技法を用いて、$\Ga_{\BB}$ における長さ 2 の向き付きパスにおける $G$ の推移性を特徴付ける。
• $p = 3$ または $5$ の場合、ブロックデザインからの構造的制約を用いて、必要条件が本質的に十分であることを示す。
• $\Ga$ および $\Ga_{\BB}$ における $G$ の対称性と推移性を活用し、ブロック隣接パターンにかかる制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $v - k = p$ が奇素数であるとき、$G$-対称グラフ $\Ga$ と $G$-不変分割 $\BB$ に対して、商グラフ $\Ga_{\BB}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるための条件は何か？
• RQ2 $(\Ga, \BB)$ から誘導される 2 点推移的ブロックデザインの存在が、$\Ga_{\BB}$ の 2-弧推移性にどのように影響するか？
• RQ3 $v - k = p$ かつ $p$ が奇素数であるとき、ブロック隣接パターンにどのような構造的制約が生じるか？
• RQ4 どの素数 $p$ に対して、$\Ga_{\BB}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるための必要条件が十分になるか？
• RQ5 $p = 3$ または $p = 5$ の場合、$\Ga_{\BB}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるという特徴付けを完全に特定できるか？

主な発見

• 必要条件は、$v$, $k$, 2 つの追加パラメータ、および $(\Ga, \BB)$ から誘導される 2 点推移的ブロックデザインの観点から導出された。
• $p = 3$ の場合、$\Ga_{\BB}$ が $(G, 2)$-弧推移的であるための必要条件は本質的に十分である。
• $p = 5$ の場合、同様に必要条件は本質的に十分である。
• 2 点推移的ブロックデザインの構造は、商グラフの推移性特性を決定する中心的役割を果たす。
• 与えられた対称性の仮定の下で、$v - k = 3$ または $5$ の場合に、$(G, 2)$-弧推移的商グラフの完全な特徴付けが得られた。
• 本研究の結果は、非可約自己同型群をもつ対称グラフおよびその商構造の理解を拡張する。