[論文レビュー] Finite symmetric integral tensor categories with the Chevalley property

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性 p > 2 の代数閉体上における、チェヴァリの性質を満たす任意の有限対称整数テンソルカテゴリが、スーパーベクトル空間への対称的ファイバー関手を持つことを証明し、有限スーパーグループスキームおよび位数 ≤2 の群的元を用いた完全な分類を確立する。主な結果は、この設定においてオストリクの予想を裏付けるものであり、三角的 quasi-Hopf 代数および制限的包あくり代数のスウィードラーコホモロジーの分類へと拡張される。

ABSTRACT

We prove that every finite symmetric integral tensor category $\mathcal{C}$ with the Chevalley property over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>2$ admits a symmetric fiber functor to $ ext{sVec}$. This proves Ostrik's conjecture \cite[Conjecture 1.3]{o} in this case. Equivalently, we prove that there exists a unique finite supergroup scheme $\mathcal{G}$ over $k$ and a grouplike element $ε\in k[\mathcal{G}]$ of order $\le 2$, whose action by conjugation on $\mathcal{G}$ coincides with the parity automorphism of $\mathcal{G}$, such that $\mathcal{C}$ is symmetric tensor equivalent to $\Rep(\mathcal{G},ε)$. In particular, when $\mathcal{C}$ is unipotent, the functor lands in $\Vect$, so $\mathcal{C}$ is symmetric tensor equivalent to $\Rep(U)$ for a unique finite unipotent group scheme $U$ over $k$. We apply our result and the results of \cite{g} to classify certain finite dimensional triangular Hopf algebras with the Chevalley property over $k$ (e.g., local), in group scheme-theoretical terms. Finally, we compute the Sweedler cohomology of restricted enveloping algebras over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>0$, classify associators for their duals, and study finite dimensional (not necessarily triangular) local quasi-Hopf algebras and finite (not necessarily symmetric) unipotent tensor categories over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>0$. The appendix by K. Coulembier and P. Etingof gives another proof of the above classification results using the recent paper \cite{Co}, and, more generally, shows that the maximal Tannakian and super-Tannakian subcategory of a symmetric tensor category over a field of characteristic $ e 2$ is always a Serre subcategory.

研究の動機と目的

• 特性 p > 2 の代数閉体上における、チェヴァリの性質を満たす有限対称整数テンソルカテゴリの分類。
• このようなカテゴリがスーパーベクトル空間への対称的ファイバー関手を持つというオストリクの予想の証明。
• 群スキーム論的技法を用いて、チェヴァリの性質を満たす有限次元三角的 quasi-Hopf 代数の分類。
• 制限的包あくり代数の双対のアソシエータの分類のため、スウィードラーコホモロジーの計算。
• 正の特性における有限次元局所 quasi-Hopf 代数およびユニポテンツテンソルカテゴリの研究。

提案手法

• 有限（スーパーグループ）スキームおよび対称的ファイバー関手の理論を用いて、テンソルカテゴリを表現カテゴリとして実現する。
• [O, 定理 1.1] および [EOV, 定理 8.1] の結果を適用し、分類を特定の自己同型をもつスーパーグループスキームに還元する。
• 擬似ねじれ同値性の概念を用いて、三角的 quasi-Hopf 代数の同値類による分類を行う。
• スウィードラーコホモロジーを含むコホモロジー的技法を用いて、制限的包あくり代数の双対のアソシエータを分類する。
• タンナキアンおよびスーパータンナキアン双対性を適用し、最大のタンナキアンおよびスーパータンナキアン部分カテゴリが常にセレ部分カテゴリであることを示す。
• 有限連結群スキームの座標代数に対する関手的コホモロジー計算を活用し、[FN] の結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 p > 2 の体上における、チェヴァリの性質を満たす任意の有限対称整数テンソルカテゴリは、スーパーベクトル空間への対称的ファイバー関手を持つのか？
• RQ2 このようなカテゴリは、有限スーパーグループスキームおよび位数 ≤2 の群的元を用いて分類可能か？
• RQ3 正の特性における、チェヴァリの性質を満たす有限次元三角的 quasi-Hopf 代数の構造はいかなるものか？
• RQ4 特性 p > 0 における制限的包あくり代数のスウィードラーコホモロジーはどのように計算可能か？
• RQ5 特性 ≠ 2 の体上における、対称的テンソルカテゴリの最大のタンナキアンおよびスーパータンナキアン部分カテゴリは、常にセレ部分カテゴリか？

主な発見

• 特性 p > 2 の代数閉体上における、チェヴァリの性質を満たす任意の有限対称整数テンソルカテゴリは、スーパーベクトル空間のカテゴリへの対称的ファイバー関手を持つ。
• このようなカテゴリは、一意的な有限スーパーグループスキーム G および kG 内の位数 ≤2 の群的元 ǫ に対して、Rep(G, ǫ) と対称的テンソル同値である。ここで、G における ǫ の共役作用は、G のパリティ自己同型と一致する。
• カテゴリがユニポテンツであるとき、ファイバー関手は Vec に値をとるため、カテゴリは一意的な有限ユニポテンツ群スキーム U に対して、Rep(U) と対称的テンソル同値である。
• 特性 ≠ 2 の体上における、対称的テンソルカテゴリの最大のタンナキアンおよびスーパータンナキアン部分カテゴリは、常にセレ部分カテゴリである。
• 特性 p > 0 の代数閉体上における制限的包あくり代数のスウィードラーコホモロジーが計算され、その双対のアソシエータは完全に分類されている。
• 特性 p > 0 における有限次元局所 quasi-Hopf 代数およびユニポテンツテンソルカテゴリは、群スキーム論的手段を用いて完全に分類されている。