[論文レビュー] Finite-Temperature Scrambling of a Random Hamiltonian

Sagar Vijay, Ashvin Vishwanath|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、大N極限におけるガウスユニタリアンブール（GUE）に由来するハミルトニアンを持つ量子系について、有限温度における時-order外相関関数（OTOC）の正確な計算を提示する。OTOCは初期時間における2次成長を示し、時間とともにべき乗則で減衰する漸近値に飽和するが、その指数は温度および演算子クラスに依存する。特に、単位的破れ条件を満たす一貫したスクラッチング領域が同定され、これは時間スケール $ t_c \sim J^{-1} $ における効果的情報スクラッチングを示しており、低温においてはスクラッチング時間 $ t_s $ と一致する。

ABSTRACT

We study the finite-temperature scrambling behavior of a quantum system described by a Hamiltonian chosen from a random matrix ensemble. This effectively (0+1)-dimensional model admits an exact calculation of various ensemble-averaged out-of-time-ordered correlation functions in the large-$N$ limit, where $N$ is the Hilbert space dimension. For a Hamiltonian drawn from the Gaussian unitary ensemble, we calculate the ensemble averaged OTOC at all temperatures. In addition to an early time quadratic growth of the averaged out-of-time-ordered commutator (OTOC), we determine that the OTOC saturates to its asymptotic value as a power-law in time, with an exponent that depends both on temperature, and on one of four classes of operators appearing in the correlation function, that naturally emerge from this calculation. Out-of-time-ordered correlation functions of operators that are distributed around the thermal circle take a time $t_{s}\sim β$ to decay at low temperatures. We generalize these exact results, by demonstrating that out-of-time-ordered correlation functions averaged over any ensemble of Hamiltonians that are invariant under unitary conjugation $H ightarrow {U} H {U}^{\dagger}$, exhibit power-law decay to an asymptotic value. We argue that this late-time behavior is a generic feature of unitary dynamics with energy conservation. Finally, by comparing the OTOC with a commutator-anticommutator correlation function, we examine whether there is a time window over which a typical Hamiltonian behaves as a "coherent scrambler" in the language of Ref. \cite{Kitaev_IAS, Kitaev_Suh}.

研究の動機と目的

• ランダムハミルトニアンを有する量子系の普遍的な有限温度スクラッチングダイナミクスを理解すること。
• GUEに従うハミルトニアンに対して、大N極限におけるアンサンブル平均の時-order外相関関数（OTOC）を正確に計算すること。
• 典型的なランダムハミルトニアンが、初期時間における散乱行列の単位的破れを特徴とする「一貫したスクラッチャー」としての振る舞いを示すかどうかを特定すること。
• エネルギー保存を伴うユニタリダイナミクスにおけるOTOCの遅刻べき乗則減衰を、ユニタリに不変なハミルトニアンアンサンブルに一般化すること。
• OTOCダイナミクスと交換子・反交換子相関関数を比較し、一貫したスクラッチング窓の存在を評価すること。

提案手法

• 本研究では、ガウスユニタリアンブール（GUE）に由来するハミルトニアンを用いた(0+1)次元モデルを採用し、大N極限における正確な計算を可能にする。
• ランダム行列理論の技術を用いて、アンサンブル平均OTOC $ \overline{C_\beta(t)} = \frac{1}{2} \left\langle \left| [V(t), W(0)] \right|^2 \right\rangle_\beta $ を計算する。
• 一貫したスクラッチング条件 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $ の評価のため、$ D_\beta(t) $ として定義される量 $ \left\langle W(0)V(t)^2W(0) \right\rangle_\beta $ の計算を含む。
• 大N極限における $ \overline{D_\beta(t)} $ および $ \overline{C_\beta(t)} $ の正確な式を導出し、修正ベッセル関数 $ I_1 $ および $ I_2 $ を含む。その後、その漸近的挙動を分析する。
• 演算子のトレースおよび積構造に基づき、4つの異なるクラスに演算子を分類し、OTOCのべき乗則減衰指数を決定する。
• エネルギー保存を伴うユニタリダイナミクスにおいて、漸近値へのべき乗則減衰はユニタリに不変なハミルトニアンアンサンブルに対して一般に成立することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムハミルトニアンのOTOCは、普遍的な遅刻べき乗則減衰を示すか。その場合、減衰指数は何かに依存するか？
• RQ2 典型的なランダムハミルトニアンは、KitaevとSuhの定義に従い、初期時間に $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $ を満たす「一貫したスクラッチャー」として機能するか？
• RQ3 一貫したスクラッチング時間 $ t_c $ とスクラッチング時間 $ t_s $ はどのように比較されるか。低温においては $ J^{-1} $ のスケールに従うか？
• RQ4 トレースおよび積構造によって定義される4つの異なる演算子クラスが、遅刻OTOC挙動を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 OTOCの漸近値へのべき乗則減衰は、エネルギー保存を伴うユニタリダイナミクスの普遍的特徴であるか、それともランダム行列アンサンブルに特有のものか？

主な発見

• OTOCは、すべての温度において初期時間における2次成長 $ \overline{C_\beta(t)} \sim J^2 t^2 $ を示し、演算子の急速な拡散を示している。
• OTOCは時間とともにべき乗則で減衰する漸近値に飽和し、$ \sim t^{-\alpha} $ となるが、その指数 $ \alpha $ は温度および演算子クラスに依存する。
• 低温において、不連続でトレースゼロの演算子に対して、時間窓 $ 0 \ll t \ll J^{-1} $ において一貫したスクラッチング条件 $ \left| D_\beta(t) \right| \gg \overline{C_\beta(t)} $ が満たされ、効果的情報スクラッチングが生じていることが示された。
• この条件の発生点として定義される一貫したスクラッチング時間 $ t_c $ は、$ t_s \sim J^{-1} $ と同程度のオーダーであることが判明し、低温においてスクラッチングが一貫していることを示唆している。
• 低温において、熱的円上に配置された演算子の時-order外相関関数は、時間 $ t_s \sim \beta $ で減衰する。これは、減衰のスケールが熱的スケールであることを示している。
• OTOCの漸近値へのべき乗則減衰は、エネルギー保存を伴うユニタリダイナミクスの普遍的特徴であることが示され、ランダム行列アンサンブルに限らず、任意のユニタリに不変なハミルトニアンアンサンブルに一般化可能である。