[論文レビュー] Finite-temperature topological entanglement entropy for CSS codes

Zhi Li, Roger S. K. Mong|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Neural dynamics and brain function参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、従来のトポロジカルオーダーおよびフラクタルモデルを含む、Calderbank-Shor-Steane (CSS)コードにおける有限温度トポロジカルエンタングルメントエントロピー（TEE）を調査する。TEEが温度に対して区分的定数関数であり、相転移の際にのみ不連続性を示すことを証明し、2次元および3次元のトポロジカルCSSコードがすべてゼロ温度相転移を示すことを示唆する。これは有限温度でトポロジカルオーダーが崩壊し、熱的不安定性を示すことを意味する。

ABSTRACT

We consider topological entanglement entropy (TEE) at finite temperature for CSS codes, which include some ordinary topological-ordered systems such as the toric code and some fracton models such as the Haah's code and the X-cube model. We find, under the assumption that there is no extended critical phase, the finite-temperature TEE is a piecewise constant function of the temperature, with possible discontinuities only at phase transitions. We then consider phase transitions of CSS codes. We claim that there must exist a phase transition at zero temperature for any CSS codes in 2D and 3D with topological order. This statement can be rigorous proved for some familiar examples, while for general models it can be argued based on the low-temperature expansion. This indicates the break down of topological orders at finite temperature. We also discuss possible connections with self-correcting quantum memory.

研究の動機と目的

• トポロジカル量子コードにおける有限温度でのトポロジカルエンタングルメントエントロピー（TEE）の挙動を理解すること。
• 2次元および3次元のCSSコードにおいて、トポロジカルオーダーが熱揺らぎに耐えるかどうかを特定すること。
• ギブス状態における相転移とトポロジカル量子メモリの安定性との関係を調査すること。
• 低温展開とフラクタル励起状態が熱的不安定性を示す役割を分析すること。
• トポロジカルコードにおける自己修正量子メモリに与える影響を評価すること。

提案手法

• CSSコードの分配関数 Z(β) を用いて、逆温度 β の関数として TEE を分析する。
• 低温展開技術を適用し、フラクタル励起状態による自由エネルギーの発散を研究する。
• 連結したフラクタル演算子が分配関数の対数に寄与することを用い、摂動展開の破綻を示す。
• 代表的モデル（2次元／3次元トーリックコード、X-cube、Haahのコード）の正確な分配関数を導出する。
• 相構造に基づき、TEEが臨界温度でのみ不連続性を示す区分的定数関数であることを確立する。
• 既知のモデルにおける「自由セクター」の存在を活用して TEE を明示的に計算し、一般のCSSコードに対しては低エネルギー有効理論を用いて議論を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CSSコードにおけるトポロジカルエンタングルメントエントロピー（TEE）は、温度の関数としてどのように振る舞うか？
• RQ2 有限温度TEEは、CSSコードにおけるトポロジカル相の非局所的オーダーパラメータとして機能できるか？
• RQ3 2次元および3次元のトポロジカルCSSコードはゼロ温度で相転移を示すか？ これは熱的安定性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 フラクタル励起状態と連結演算子は、低温展開の破綻にどのように寄与するか？
• RQ5 ゼロ温度相転移の存在は、自己修正量子メモリの可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意のトポロジカルCSSコードにおける有限温度TEEは、温度に関して区分的定数関数であり、相転移の際にのみ不連続性を示す。
• 2次元および3次元のすべてのトポロジカルCSSコードはゼロ温度で相転移を示し、有限温度でトポロジカルオーダーが崩壊することを示唆する。
• 2次元トーリックコード、X-cubeモデル、Haahのコードにおいて、TEEは T=0+ で低下し、臨界温度 Tc まで一定に保たれ、以降は消失する。
• 自由エネルギー f(β) の低温展開は、対数の分配関数でキャンセルできない連結フラクタル演算子の寄与により破綻する。
• 低温展開とフラクタル生成子の存在を根拠に、一般の2次元および3次元トポロジカルCSSコードにゼロ温度相転移が存在すると議論される。
• これらの結果は、2次元および3次元のトポロジカルCSSコードが、いかなる有限温度でも自己修正的でないことを示唆する。なぜなら、熱的ギブス状態が T=0 で臨界的転移を経るからである。